Question

Написати рівняння прямої, яка проходить через фокус параболи x²=24y і центр кола x²+y²-4x+6y-1=0

Answer 1

Дана парабола x²=24y и окружность, заданная уравнением

x²+y²-4x+6y-1=0 .

Уравнение параболы с параметром имеет вид x²=2рy = 2*12у.

Параметр р=12, а фокус её расположен в точке F= (0;(p/2)) = (0; 6).

Переходим к окружности: (x² - 4x + 4) - 4 + (y² + 6y + 9) - 9 - 1=0 .

Выделяем полные квадраты: (x - 2)² + (y + 3)² = 14.

Найден центр окружности: О(2; -3).

Через 2 точки проводим прямую.

Вектор OF = (0-2; 6-(-3)) = (-2; 9).

Ответ: уравнение прямой (x - 2)/(-2) = (y + 3)/9 или в общем виде

9x + 2y - 12 = 0.

Answer 2

Спершу давайте знайдемо координати фокуса параболи та центра кола.

Для параболи x² = 24y ми бачимо, що фокус знаходиться у точці (0, 6).

Для кола x² + y² - 4x + 6y - 1 = 0 ми можемо переписати рівняння, завершивши квадратичні доданки для x та y:

(x² - 4x) + (y² + 6y) = 1 Завершимо квадратичні доданки для x та y, додаючи квадратичні вирази обох сторін рівняння:

(x² - 4x + 4) + (y² + 6y + 9) = 1 + 4 + 9 (x - 2)² + (y + 3)² = 14 Таким чином, центр кола знаходиться у точці (2, -3), а радіус кола дорівнює √14.

Тепер, коли ми знаємо координати фокуса параболи та центра кола, ми можемо знайти рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки. Використовуючи формулу нахилу прямої, ми отримаємо:

m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) де (x₁, y₁) - координати фокуса параболи, а (x₂, y₂) - координати центра кола.

Підставляючи значення, отримуємо: m = (-3 - 6) / (2 - 0) = -9 / 2

Тепер, використовуючи формулу точкової форми рівняння прямої (y - y₁ = m(x - x₁)), підставляючи значення координат однієї з точок (наприклад, (2, -3)), отримаємо рівняння прямої:

y - (-3) = (-9/2)(x - 2)

Звідси ми можемо спростити рівняння:

y + 3 = -9/2 * x + 9 y = -9/2 * x + 6

Отже, рівняння прямої, яка проходить через фокус параболи та центр кола, є:

y = -9/2 * x + 6