Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО Решите задачи: 1. Выразите в градусах углы: 7π/6 , 3π/4 , π2. Выразите в радианах углы: 210°, 45°, 120°.3. Определите знак выражения: sin120°tg240°/cos30°ctg280° .4. Найдите значение выражения: 5sin² * 3π/4 - 3cos² * π/3 +tgπ 5.Упростите выражение: sin(π + α)cos(π-α)/ ctg((3π/2)-α)6. Найдите sin α, cos 2α, sin α/2 , если cos α= -0,6 и π< α < 3π/2 .7. Вычислите cos(α+β), если cos α=3/5 и cos β= 7/25 , 0 < α < π/2 и 0 < β < π/2 .

Answer 1

Ответ:

1.

$\dfrac{7\pi }{6} = 210^{\circ}$

$\dfrac{3\pi }{4} = 135^{\circ}$

$\pi = 180^{\circ}$

2.

${210^{\circ} = \dfrac{7\pi }{6}$

${45^{\circ} = \dfrac{\pi }{4}$

${120^{\circ}= \dfrac{2\pi }{3}$

3.

$\dfrac{\sin 120^{\circ} \cdot tg \ 240^{\circ}}{\cos 30^{\circ} \cdot ctg \ 280^{\circ}} < 0$

4.

$5\sin^{2}\dfrac{3\pi }{4} - 3\cos^{2} \dfrac{\pi }{3} + tg \ \pi = \dfrac{7}{4}$

5.

$\dfrac{\sin(\pi + \alpha )\cos(\pi - \alpha )}{ctg \left( \dfrac{3\pi }{2} - \alpha \right) } = \cos^{2} \alpha$

6.

$\sin \alpha = -0,8$

$\cos 2\alpha = -0,28$

$\sin \dfrac{\alpha }{2} = \dfrac{2\sqrt{5} }{5}$

7.

$\cos(\alpha + \beta ) = -0,6$

Пошаговое объяснение:

1.

1 радиан =  $\dfrac{180^{\circ}}{\pi }$

$\dfrac{7\pi }{6} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi } = 7 \cdot 30^{\circ} = 210^{\circ}$

$\dfrac{3\pi }{4} \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi } = 3 \cdot 45^{\circ} = 135^{\circ}$

$\pi \cdot \dfrac{180^{\circ}}{\pi } = 180^{\circ}$

2.

$1^{\circ} = \dfrac{\pi }{180^{\circ}}$ рад

$\dfrac{210^{\circ}\pi }{180^{\circ}}= \dfrac{7\pi }{6}$

$\dfrac{45^{\circ}\pi }{180^{\circ}}= \dfrac{\pi }{4}$

$\dfrac{120^{\circ}\pi }{180^{\circ}}= \dfrac{2\pi }{3}$

3.

Смотрите фотографии!

$\sin 120^{\circ} > 0$

$tg \ 240^{\circ} > 0$

$\cos 30^{\circ} > 0$

$ctg \ 280^{\circ} < 0$

$\dfrac{\sin 120^{\circ} \cdot tg \ 240^{\circ}}{\cos 30^{\circ} \cdot ctg \ 280^{\circ}} \lor 0$

$\dfrac{+ \cdot +}{+ \cdot - } \lor 0$

$- < 0$

$\dfrac{\sin 120^{\circ} \cdot tg \ 240^{\circ}}{\cos 30^{\circ} \cdot ctg \ 280^{\circ}} < 0$

4.

$5\sin^{2}\dfrac{3\pi }{4} - 3\cos^{2} \dfrac{\pi }{3} + tg \ \pi = 5\cdot \left( \dfrac{\sqrt{2} }{2} \right)^{2} - 3\cdot \left( \dfrac{1 }{2} \right)^{2} + 0 = \dfrac{5\cdot2}{4} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{10 - 3}{4} = \dfrac{7}{4}$

5.

$\dfrac{\sin(\pi + \alpha )\cos(\pi - \alpha )}{ctg \left( \dfrac{3\pi }{2} - \alpha \right) } = \dfrac{- \sin \alpha \cdot( -\cos \alpha )}{tg \ \alpha } = \dfrac{\dfrac{\sin \alpha \cdot \cos \alpha }{1} }{\dfrac{\sin \alpha }{\cos \alpha } } = \dfrac{\cos^{2} \alpha \sin \alpha }{\sin \alpha } =$

$= \cos^{2} \alpha$

6.

$\cos \alpha =-0,6; \pi < \alpha < \dfrac{3\pi }{2}$

По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \Longrightarrow |\sin \alpha | = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \sqrt{1 - (-0,6)^{2}} = \sqrt{1 -0,36} =$

$= \sqrt{0,64} = 0,8$

Так как $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi }{2}$ ,то $|\sin \alpha | = -\sin \alpha$, тогда $\sin \alpha = -0,8$.

По формуле косинуса двойного угла:

$\cos 2\alpha = 2\cos^{2} \alpha - 1 = 2\cdot(-0,6)^{2} - 1 = 2 \cdot 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28$.

По формуле синуса половинного угла:

$\bigg | \sin \dfrac{\alpha }{2} \bigg | = \sqrt{\dfrac{1 - \cos \alpha }{2} } = \sqrt{\dfrac{1 - (-0,6) }{2} } = \sqrt{\dfrac{1 + 0,6}{2} } = \sqrt{\dfrac{1,6}{2} } = \sqrt{0,8}$.

$\pi < \alpha < \dfrac{3\pi }{2} \bigg |:2$

$\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\alpha }{2} < \dfrac{3\pi }{4}$

Так как $\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\alpha }{2} < \dfrac{3\pi }{4}$, то $\bigg | \sin \dfrac{\alpha }{2} \bigg | = \sin \dfrac{\alpha }{2} = \sqrt{0,8} = \sqrt{\dfrac{8}{10} } = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 4}{2 \cdot 5} } = \sqrt{\dfrac{4}{5} } = \dfrac{\sqrt{4} }{\sqrt{5} } = \dfrac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} } = \dfrac{2\sqrt{5} }{5}$.

7.

$\cos \alpha = \dfrac{3}{5} = 0,6; \cos \beta = \dfrac{7}{25} = 0,28$

$0 < \alpha < \dfrac{\pi }{2} ; 0 < \beta < \dfrac{\pi }{2}$ , следовательно $\cos \alpha , \sin \alpha ,\cos \beta ,\sin \beta > 0$

По основному тригонометрическому тождеству:

$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \Longrightarrow \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha} = \sqrt{1 - (0,6)^{2}} = \sqrt{1 - 0,36} =$

$= \sqrt{0,64} = 0,8$.

$\sin^{2} \beta + \cos^{2} \beta = 1 \Longrightarrow \sin \beta = \sqrt{1 - \cos^{2} \beta } = \sqrt{1 - (0,28)^{2}} = \sqrt{1 - 0,0784} =$

$= \sqrt{0,9216} = 0,96$.

$\cos(\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta = 0,6 \cdot 0,28 - 0,8 \cdot 0,96 = 0,168 - 0,768=$

$= -0,6$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти задачи. Давайте по очереди разберёмся с каждой из них:

1. Выразите в градусах углы:

   • Угол в радианах: 7π/6 Угол в градусах: (180° / π) * (7π/6) = 210°

   • Угол в радианах: 3π/4 Угол в градусах: (180° / π) * (3π/4) = 135°

   • Угол в радианах: π/2 Угол в градусах: (180° / π) * (π/2) = 90°

2. Выразите в радианах углы:

   • Угол в градусах: 210° Угол в радианах: (π / 180°) * 210° = 7π/6

   • Угол в градусах: 45° Угол в радианах: (π / 180°) * 45° = π/4

   • Угол в градусах: 120° Угол в радианах: (π / 180°) * 120° = 2π/3

3. Определите знак выражения: sin(120°) * tg(240°) / cos(30°) * ctg(280°). Для удобства, разложим углы на положительные области: 240° = 180° + 60°, 280° = 270° + 10°.

   • sin(120°) = √3 / 2 (положительный во II квадранте)
   • tg(240°) = tg(60°) = √3 (положительный в I квадранте)
   • cos(30°) = √3 / 2 (положительный в I квадранте)
   • ctg(280°) = ctg(10°) (положительный в IV квадранте)

   Итак, знак выражения: (+) * (+) / (+) * (+) = (+).

4. Найдите значение выражения: 5sin²(3π/4) - 3cos²(π/3) + tg(π).

   • sin(3π/4) = √2 / 2
   • cos(π/3) = 1 / 2
   • tg(π) = 0

   Подставляем значения: 5 * (√2 / 2)² - 3 * (1 / 2)² + 0 = 5/4 - 3/4 = 1/2.

5. Упростите выражение: sin(π + α) * cos(π - α) / ctg(3π/2 - α).

   • sin(π + α) = -sin(α)
   • cos(π - α) = -cos(α)
   • ctg(3π/2 - α) = -1 / tan(α)

   Подставляем значения: (-sin(α)) * (-cos(α)) / (-1 / tan(α)) = sin(α) * cos(α) * tan(α).

6. Найдите sin α, cos 2α, sin(α/2), если cos α = -0,6 и π < α < 3π/2.

   • По теореме Пифагора: sin α = √(1 - cos² α) = √(1 - (-0,6)²) = √(1 - 0,36) = √0,64 = 0,8.
   • cos 2α = 2 * cos² α - 1 = 2 * (-0,6)² - 1 = 2 * 0,36 - 1 = 0,72 - 1 = -0,28.
   • sin(α/2) = ±√((1 - cos α) / 2) = ±√((1 - (-0,6)) / 2) = ±√(1,6 / 2) = ±√0,8 = ±0,894 (выбираем знак в зависимости от квадранта).

7. Вычислите cos(α + β), если cos α = 3/5 и cos β = 7/25, 0 < α < π/2 и 0 < β < π/2. Используем формулу для cos(α + β): cos(α + β) = cos α * cos β - sin α * sin β.

   • sin α = √(1 - cos² α) = √(1 - (3/5)²) = √(1 - 9/25) = √(16/25) = 4/5.
   • sin β = √(1 - cos² β) = √(1 - (7/25)²) = √(1 - 49/625) = √(576/625) = 24/25.

   Подставляем значения: cos(α + β) = (3/5) * (7/25) - (4/5) * (24/25) = 21/125 - 96/125 = -75/125 = -3/5.