Question

ПОМОГИТЕ ПЖ ОЧЕНЬ СРОЧНО РЕШИТЬ С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ . 1)Найти общее решение дифференциального уравнения 2y'–y^3=0. 2)РЕШИТЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ у'=2х+2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Это ДУ с разделяющимися переменными

Answer 2

Конечно, давайте решим оба задания.

Задание 1:

Дифференциальное уравнение 2y' - y^3 = 0 является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Давайте начнем с его решения.

1. Перепишем уравнение: 2y' = y^3.
2. Разделим обе стороны на y^3: (2/y^3)y' = 1.
3. Теперь давайте проинтегрируем обе стороны по x:

∫(2/y^3) dy = ∫dx.

4. Интегрируем левую сторону:

∫(2/y^3) dy = ∫2y^(-3) dy = -2y^(-2)/(-2) = y^(-2).

5. Интегрируем правую сторону:

∫dx = x + C1, где C1 - произвольная постоянная.

6. Теперь у нас есть:

y^(-2) = x + C1.

7. Возьмем обратное значение обеих сторон:

y^2 = 1/(x + C1).

8. И, наконец, извлечем квадратный корень:

y = ±(1/sqrt(x + C1)).

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Задание 2:

Дифференциальное уравнение у' = 2x + 2 также является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Давайте решим его.

1. Разделим обе стороны на 2: (1/2)u' = x + 1, где u = y'.

2. Теперь давайте проинтегрируем обе стороны по x:

(1/2)∫u' du = ∫(x + 1) dx.

3. Интегрируем левую сторону:

(1/2)∫u' du = (1/2)u + C2, где C2 - произвольная постоянная.

4. Интегрируем правую сторону:

∫(x + 1) dx = (1/2)x^2 + x + C3, где C3 - также произвольная постоянная.

5. Теперь у нас есть:

(1/2)u + C2 = (1/2)x^2 + x + C3.

6. Выразим u:

u = x^2 + 2x + 2(C3 - C2).

Теперь у нас есть решение в виде выражения для u. Чтобы получить y, нам нужно проинтегрировать это выражение еще раз по x:

1. Интегрируем u:

u = x^2 + 2x + 2(C3 - C2).

2. Интегрируем это по x:

y = (1/3)x^3 + x^2 + 2x(C3 - C2) + C4, где C4 - произвольная постоянная.

Это общее решение для дифференциального уравнения у' = 2x + 2.