Question

Доказать, что дробь ad + bc / bd является несократимой тогда и только тогда, когда b и d взаимно простые числа​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Вспомним, что выражение “тогда и только тогда” употребляется в тех случаях, когда выполняется как прямое, так и обратное утверждение

1.Док-во прямого утверждения:

“ad + bc / bd является несократимой, когда b и d взаимно простые числа”

Приведём док-во методом от противного:

Предположим противное, то есть  “ad + bc / bd является несократимой, когда b и d не взаимно простые числа”. Возьмём общий делитель b и d за m => b = mk, d = ml => ad + bc / bd = aml + mkc / m(kl) = m(al + kc) / m(kl) ну и тут явно видно, что можно сократить на m - противоречие.

2.Док-во обратного утверждения:

“Когда b и d взаимно простые числа, ad + bc / bd является несократимой”

Ну а это мы уже видимо доказали сверху

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим два случая: когда дробь $\frac{ad + bc}{bd}$ несократима и когда $b$ и $d$ взаимно простые числа.

Пусть дробь $\frac{ad + bc}{bd}$ несократима. Это означает, что числитель $ad + bc$ и знаменатель $bd$ не имеют общих делителей, кроме 1. Предположим, что $b$ и $d$ не взаимно простые, то есть у них есть общий делитель $k > 1$. Тогда $b = k \cdot b'$ и $d = k \cdot d'$, где $b'$ и $d'$ — целые числа, не имеющие общих делителей, кроме 1. Подставив эти значения в выражение для числителя и знаменателя, получаем:

$ad + bc = ad + (k \cdot b')c = ad + k \cdot (b'c)$ $bd = (k \cdot b')d'$

Обратите внимание, что $k$ является общим делителем для числителя и знаменателя. Таким образом, если $k > 1$, то дробь всё равно была бы сократимой, что противоречит нашему предположению, что она несократима. Следовательно, $b$ и $d$ не могут иметь общих делителей, кроме 1, и они являются взаимно простыми числами.

Теперь докажем обратное утверждение: если $b$ и $d$ взаимно простые числа, то дробь $\frac{ad + bc}{bd}$ несократима.

Пусть $b$ и $d$ взаимно просты, то есть у них нет общих делителей, кроме 1. Рассмотрим числитель $ad + bc$ и знаменатель $bd$. Предположим, что у них есть общий делитель $k > 1$. Тогда $ad + bc = k \cdot m$ и $bd = k \cdot n$, где $m$ и $n$ — целые числа.

Теперь мы можем выразить $b$ и $d$ следующим образом: $b = \frac{k \cdot n}{d}$ $d = \frac{k \cdot m}{b}$

Это означает, что $b$ и $d$ имеют общий делитель $k$, что противоречит нашему предположению о том, что $b$ и $d$ взаимно просты. Таким образом, наше предположение о существовании общего делителя $k$ неверно, и следовательно, дробь $\frac{ad + bc}{bd}$ несократима.

Таким образом, мы доказали обе части утверждения: дробь $\frac{ad + bc}{bd}$ является несократимой тогда и только тогда, когда $b$ и $d$ взаимно простые числа.