Question

Найти производную y=√x ln(√x+√x+a) - √x+a

Answer 1

Ответ:

$y=\sqrt{x}\cdot ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})-\sqrt{x+a}\\\\\\y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})+\sqrt{x}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}\cdot \Big(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x+a}}\Big)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+a}}=\\\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})+\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}\cdot \Big(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x+a}}\Big)-\dfrac{1}{2\sqrt{x+a}}=$

$=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})+\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+a}}\cdot \dfrac{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}{2\sqrt{x+a}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+a}}=\\\\\\=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})+\dfrac{1}{2\sqrt{x+a}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x+a}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\cdot ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+a})$

Answer 2

Давайте найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилами дифференцирования.

Дано: y = √x ln(√x + √x + a) - √x + a

Для удобства заметим, что √x + √x = 2√x:

y = √x ln(2√x + a) - √x + a

Теперь возьмем производную по x:

1. Производная первого слагаемого: (используем правило производной произведения) (d/dx)[√x ln(2√x + a)] = √x * (1/(2√x + a)) * 2√x + ln(2√x + a) * 1/(2√x) = 1 + ln(2√x + a)/√x

2. Производная второго слагаемого: (используем правило производной суммы) (d/dx)(-√x) = -1/2√x

Таким образом, производная функции y по переменной x будет равна:

dy/dx = 1 + ln(2√x + a)/√x - 1/2√x

Можно упростить эту производную, объединив дроби:

dy/dx = ln(2√x + a)/√x - 1/2√x + 1

Это будет производная заданной функции по переменной x.