Question

Найти полный дифференциал функции z=z x,y: z=cosy+(y-x)siny

Answer 1

Ответ:

$z=cosy+(y-x)siny\\\\z'_{x}=-siny\ \ ,\\\\z'_{y}=-siny+siny+(y-x)cosy=(y-x)cosy\\\\dz=-siny\,\cdot dx+(y-x)cosy\cdot dy$

Answer 2

Для нахождения полного дифференциала функции $z = z(x, y) = \cos(y) + (y - x) \sin(y)$, нужно найти его по отношению к переменным $x$ и $y$. Полный дифференциал $dz$ можно записать следующим образом:

$dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy.$

Теперь найдем частные производные функции $z$ по $x$ и $y$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = -\sin(y) - \sin(y) = -2\sin(y),$ $\frac{\partial z}{\partial y} = -\sin(y) + \cos(y) + \sin(y) = \cos(y).$

Подставим найденные значения в формулу полного дифференциала:

$dz = -2\sin(y) dx + \cos(y) dy.$

Таким образом, полный дифференциал функции $z = \cos(y) + (y - x) \sin(y)$ равен $-2\sin(y) dx + \cos(y) dy$.