Question

3. Вычислите интеграл (sinx - 2cosx)dxПомогите пожалуйста ​

Answer 1

$\int ( \sin(x) - 2 \cos(x) )dx = \int \sin(x) dx - \int 2 \cos(x) dx = - \cos(x) - 2 \int \cos(x) dx = - \cos(x) - 2 \sin(x) = - ( \cos(x) + 2 \sin(x) ) + C, \: C \in \mathbb R$

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям выглядит следующим образом:

∫(uv)dx = u∫vdx - ∫(u'∫vdx)dx,

где u и v - функции от x, u' - производная функции u по x.

В данном случае, мы можем выбрать:

u = sin(x) и du = cos(x)dx, dv = -2cos(x)dx и v = -2sin(x).

Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫(sin(x) - 2cos(x))dx = -sin(x)*2sin(x) - ∫(-2cos(x)*cos(x))dx.

Упрощая, получаем:

∫(sin(x) - 2cos(x))dx = -2sin^2(x) + 2∫cos^2(x)dx.

Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫cos^2(x)dx. Мы можем использовать формулу сокращенного удвоения:

∫cos^2(x)dx = ∫(1/2 + 1/2cos(2x))dx.

Упрощая, получаем:

∫cos^2(x)dx = 1/2∫dx + 1/2∫cos(2x)dx.

∫cos^2(x)dx = 1/2x + 1/4sin(2x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, подставляя результат в исходное выражение, получаем:

∫(sin(x) - 2cos(x))dx = -2sin^2(x) + 2(1/2x + 1/4sin(2x)) + C.

Таким образом, окончательный результат:

∫(sin(x) - 2cos(x))dx = -2sin^2(x) + x + 1/2sin(2x) + C,

где C - произвольная постоянная.