Question

Найти общее решение дифференциального уравнения. ПОДРОБНО! 22 баллов y"+12x=2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде:

y'' + 12x = 2.

Для решения этого уравнения сначала найдем общее решение однородного уравнения (частное решение будет найдено позже). Однородное уравнение получается из исходного путем замены правой части на ноль:

y'' + 12x = 0.

Общее решение этого однородного уравнения можно найти с помощью метода вариации постоянных. Предположим, что решение имеет вид y(x) = u(x)v(x), где u(x) - функция, зависящая только от x, а v(x) - функция, зависящая только от y. Тогда:

y' = u'v + uv', y'' = u''v + 2u'v' + uv''.

Подставляя это в уравнение, получаем:

u''v + 2u'v' + uv'' + 12xu(x)v(x) = 0.

Далее, разделим уравнение на u(x)v(x) и перегруппируем члены:

u''/u + 2u'v'/u + v'' + 12x = 0.

Первые два члена зависят только от x, а последний член зависит только от y. Поскольку левая и правая части уравнения равны друг другу и могут зависеть только от одной переменной, они должны быть равны константе. Обозначим эту константу как -λ^2:

u''/u + 2u'v'/u = -λ^2, v'' + 12x = λ^2.

Первое уравнение - это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для функции u(x), а второе уравнение - для функции v(x).

Рассмотрим сначала второе уравнение:

v'' + 12x = λ^2.

Это уравнение можно решить с помощью метода вариации постоянных или других методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение этого уравнения даст нам значения λ^2, которые в дальнейшем будут использоваться в решении первого уравнения для функции u(x).

После нахождения λ^2 и соответствующих функций v(x), мы можем вернуться к первому уравнению:

u''/u + 2u'v'/u = -λ^2.

Это уравнение тоже можно решить, например, с помощью метода вариации постоянных. После нахождения функции u(x) и функций v(x), мы сможем записать общее решение исходного однородного уравнения y'' + 12x = 0 как произведение u(x)v(x).

Общее решение неоднородного уравнения y'' + 12x = 2 получим, добавив частное решение неоднородного уравнения к общему решению однородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации постоянных или методом подстановки. После нахождения частного решения, общее решение неоднородного уравнения будет представлять собой сумму частного решения и общего решения однородного уравнения.

Таким образом, процесс нахождения общего решения дифференциального уравнения y'' + 12x = 2 включает в себя:

1. Нахождение решений однородного уравнения y'' + 12x = 0.
2. Нахождение значений λ^2 и соответствующих функций v(x).
3. Решение уравнения для функции u(x) с использованием найденных λ^2 и функций v(x).
4. Нахождение частного решения неоднородного уравнения y'' + 12x = 2.
5. Составление общего решения как суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.