Question

С 25 контрольных работ, среди которых 5 оценено на "отлично", наугад вынимают 3 работы. Найдите закон распределения случайной величины Х - число работ оцененных на "отлично" среди извлеченных. Найдите P (Х ≥ 2) Пожаааалуйстаааа, с полный решением Теория вероятности

Answer 1

Найдём вероятность того, что среди выбранных трёх работ оцененных на "отлично" нет, равна $P(X=0)=\dfrac{20}{25}\cdot \dfrac{19}{24}\cdot \dfrac{18}{23}=\dfrac{57}{115}$.

Теперь найдём вероятность X = 1:

$P(X=1)=\dfrac{C^1_5\cdot C^2_{20}}{C^5_{25}}=\dfrac{5\cdot 190}{2300}=\dfrac{19}{46}$

Аналогично,

$P(X=2)=\dfrac{C^2_5\cdot C^1_{20}}{C^3_{25}}=\dfrac{10\cdot 20}{2300}=\dfrac{2}{23}$

$P(X=3)=\dfrac{5}{25}\cdot \dfrac{4}{24}\cdot \dfrac{3}{23}=\dfrac{1}{230}$

Закон распределения случайной величины X:

Xi          0            1              2            3

Pi      57/115     19/46      2/23        1/230

$P(X\geq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\dfrac{2}{23}+\dfrac{1}{230}=\dfrac{21}{230}$

Answer 2

Для решения этой задачи будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть два возможных исхода (работа оценена на "отлично" или нет), и каждый из них имеет фиксированную вероятность.

Пусть случайная величина X обозначает количество работ, оцененных на "отлично", среди 3 извлеченных. Так как каждая извлеченная работа может быть оценена на "отлично" с вероятностью 5/25 (поскольку 5 из 25 оценено на "отлично"), вероятность того, что конкретно определенное сочетание извлеченных работ будет состоять из k работ, оцененных на "отлично", определяется формулой биномиального распределения:

$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k},$

где:

• $n$ - количество извлеченных работ (в данном случае 3),
• $k$ - количество работ, оцененных на "отлично",
• $p$ - вероятность работы быть оцененной на "отлично" (5/25),
• $q$ - вероятность работы быть оцененной не на "отлично" (1 - p).

Для $P(X \geq 2)$ нам нужно сложить вероятности случаев, когда $X = 2$ и $X = 3$:

$P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3).$

Теперь давайте подставим значения и вычислим вероятности:

1. $P(X = 2)$: $P(X = 2) = C_3^2 \cdot \left(\frac{5}{25}\right)^2 \cdot \left(\frac{20}{25}\right)^1 = 3 \cdot \frac{1}{25} \cdot \frac{20}{25} = \frac{60}{625}.$

2. $P(X = 3)$: $P(X = 3) = C_3^3 \cdot \left(\frac{5}{25}\right)^3 \cdot \left(\frac{20}{25}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{25^3} \cdot 1 = \frac{1}{25^3}.$

Теперь сложим эти две вероятности:

$P(X \geq 2) = \frac{60}{625} + \frac{1}{25^3}.$

Вычислим числовые значения и упростим:

$P(X \geq 2) = \frac{12}{125} + \frac{1}{15625} = \frac{1925}{15625} \approx 0.1232.$

Итак, вероятность того, что хотя бы 2 извлеченные работы будут оценены на "отлично", составляет около 0.1232 или приблизительно 12.32%.