Question

X²=18+y² решите уравнение с целыми числами. Попалась задача на одимпиаде, написал нет решений может вы найдете, просто значально в задаче намекают на подбор. Полный квадрат извлекал, ничего не вышло. Помогите!

Answer 1

Ответ:

В целых числах нет решений

Пошаговое объяснение:

Подбором тут можно:

Преобразуем равенство

$x^2=18+y^2\\x^2-y^2=18\\(x-y)(x+y)=18$

Так как $x\in\mathbb Z, y\in\mathbb Z$ то и $(x-y)\in\mathbb Z,(x+y)\in\mathbb Z$ тогда мы можем представить это в виде произведения целых чисел, тогда имеем варианты

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{ccc}x-y=18\\x+y=1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=1\\x+y=18\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=9\\x+y=2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=2\\x+y=9\end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=6\\x+y=3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=3\\x+y=6\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\left\{\begin{array}{ccc}x-y=-18\\x+y=-1\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=-1\\x+y=-18\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=-9\\x+y=-2\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=-2\\x+y=-9\end{array}\right. \\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=-6\\x+y=-3\end{array}\right.\\\left\{\begin{array}{ccc}x-y=-3\\x+y=-6\end{array}\right.\end{array}\right.$

Ну и просто методом сложения получаем что решений в целых числах нет, ведь при сложении строк системы получаем равенство 2х = нечетное число, что не имеет решений в целых числах.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

x² = 18 + y²

Мы ищем целочисленные решения для x и y. Обратите внимание на то, что x² и y² не могут быть отрицательными, так как квадраты любых действительных чисел всегда неотрицательны. Таким образом, y² всегда будет неотрицательным, и 18 + y² также будет неотрицательным.

Мы можем рассмотреть возможные значения 18 + y²:

1. Если 18 + y² = 0, то y² = -18, что невозможно для целых чисел y.
2. Если 18 + y² = 1, то y² = -17, также невозможно.
3. Если 18 + y² = 2, то y² = -16, опять невозможно.
4. ...

Как видно из приведенных выше рассуждений, значение 18 + y² не может быть ниже 18, поэтому наименьшее значение, которое оно может принять, равно 18. Это достигается при y = 0. Таким образом, у нас есть:

18 + 0² = 18

Теперь мы видим, что x² должно быть равно 18. Разложим 18 на простые множители: 18 = 2 * 3². Поскольку мы ищем целочисленные решения, x² может быть либо 2, либо 3. Но 2 не является квадратом целого числа, поэтому x² = 3. Это значит, что x = ±√3, но так как мы ищем целочисленные решения, то x = 3.

Итак, единственное целочисленное решение этого уравнения: x = 3, y = 0.