Question

Найти общее решение дифференциального уравнения y''xlnx=y' Срочно!!!

Answer 1

Ответ:

$y'=z(x)\\y''=z'\\z'xln(x)=z\\\frac{dz}{z} =\frac{dx}{xln(x)}\\ln|z|=ln(ln(x)) +lnC\\z=Cln(x)\\y'=Cln(x)\\\frac{dy}{dx} =Cln(x)\\dy=(Cln(x))dx\\y=C(xln(x)-x+C_{1})$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

y''xlnx = y'

Для решения этого уравнения можно воспользоваться методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

y''xlnx - y' = 0

Для однородного уравнения воспользуемся характеристическим уравнением:

r^2lnx - r = 0

Факторизуем r:

r(rlnx - 1) = 0

Получаем два возможных значения r:

1. r = 0
2. rlnx - 1 = 0

Для второго уравнения найдем r:

rlnx = 1 r = 1/lnx

Теперь у нас есть два линейно независимых решения для однородного уравнения:

1. y1(x) = 1
2. y2(x) = x^(1/lnx)

Теперь воспользуемся методом вариации постоянной для нахождения частного решения неоднородного уравнения:

y_p(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x)

где u1(x) и u2(x) - функции, которые нужно найти.

Подставляем частное решение в уравнение y''xlnx = y':

(y_p)''xlnx - (y_p)' = y''xlnx - y' u2''x^(1/lnx)lnx + 2u2'x^(1/lnx)/(lnx^2) - u2'x^(1/lnx) - u1' = y''xlnx - y'

Для того чтобы упростить вычисления, можем взять логарифм от x в степени 1/lnx:

y''xlnx = y''(e^(lnxlnx)) = y''(e^(ln(lnx))) y''(e^(ln(lnx))) = y''(lnx) y''(lnx) = (lnx)'' = (1/x)

Подставляем в исходное уравнение:

u2''(x/x^(1/lnx)) + 2u2'(x/x^(1/lnx))/(lnx^2) - u2'x^(1/lnx) - u1' = 1/x

Упростим:

u2''(x^(1-1/lnx)) + 2u2'x^(-1/lnx)/(lnx^2) - u2'x^(1/lnx) - u1' = 1/x

Получившееся уравнение для u1(x) и u2(x) может быть достаточно сложным для аналитического решения в общем случае. Требуется провести более подробные вычисления или использовать численные методы для нахождения конкретного частного решения.