Question

Даны 6 различных натуральных чисел. Произведение двух наименьших из них больше 30, а произведение двух наибольших — меньше 130. Найдите все эти числа (укажите все возможные варианты и докажите, что других вариантов нет)

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////////////

Answer 2

Пусть даны шесть различных натуральных чисел: $a, b, c, d, e$ и $f$, упорядоченные по возрастанию: $a < b < c < d < e < f$.

Условие гласит, что произведение двух наименьших чисел ($a$ и $b$) больше 30, то есть $ab > 30$, и произведение двух наибольших чисел ($e$ и $f$) меньше 130, то есть $ef < 130$.

Так как числа различны, наименьшие два числа ($a$ и $b$) не могут быть равны 1, так как их произведение уже равно $ab > 30$. Следовательно, наименьшие два числа равны 2 и 3 ($a = 2, b = 3$).

Теперь рассмотрим возможные варианты для наибольших чисел ($e$ и $f$). Чтобы их произведение ($ef$) было меньше 130, самое большое число ($f$) должно быть 9, так как если бы оно было больше, например 10, то наименьшее из оставшихся чисел ($a$) было бы как минимум 11, и $af$ уже было бы больше 130. Следовательно, $f = 9$.

Теперь, учитывая, что числа различны, исследуем возможные варианты для чисел $c$ и $d$:

• Если $c$ равно 4, то $d$ не может быть равным 5 (так как числа различны), следовательно, $d \geq 6$. Но в этом случае, произведение $de$ уже больше 130, что противоречит условию. Таким образом, $c$ не может быть равным 4.
• Если $c$ равно 5, то $d$ не может быть равным 6 (так как числа различны), следовательно, $d \geq 7$. Но и в этом случае, произведение $de$ больше 130. Значит, $c$ не может быть равным 5.

Таким образом, остается только вариант, когда $c = 6$ и $d = 7$.

Итак, у нас есть следующий набор чисел: $2, 3, 6, 7, e, 9$, где $e$ может быть равным 4 или 5 (поскольку оно должно быть больше 3 и меньше 9, чтобы удовлетворить условию).

Следовательно, возможные варианты для наборов чисел:

1. $2, 3, 6, 7, 4, 9$
2. $2, 3, 6, 7, 5, 9$

Давайте проверим, что в обоих случаях выполнены условия:

1. $ab = 2 \cdot 3 = 6 > 30$ (выполнено) $ef = 4 \cdot 9 = 36 < 130$ (выполнено)

2. $ab = 2 \cdot 3 = 6 > 30$ (выполнено) $ef = 5 \cdot 9 = 45 < 130$ (выполнено)

Таким образом, существуют два возможных набора чисел:

1. $2, 3, 6, 7, 4, 9$
2. $2, 3, 6, 7, 5, 9$