Question

Якщо n – натуральне число, більше за одиницю, то число 2n-1 не може бути квадратом натурального числа. Довести.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для доведення даного твердження використаємо метод доказу "від супротивного". Припустимо, що існує натуральне число n, більше за одиницю, для якого число 2n-1 є квадратом натурального числа.

Нехай 2n-1 = k^2, де k - натуральне число.

Розглянемо дане рівняння модульно:

2n-1 ≡ k^2 (mod 4).

Оскільки квадрати натуральних чисел можуть бути тільки 0 або 1 за модулем 4, отримуємо два можливі випадки:

1. Якщо k^2 ≡ 0 (mod 4), тоді k^2 ділиться на 4. За припущенням, 2n-1 = k^2, отже, 2n-1 ділиться на 4. Це означає, що n ділиться на 2. Позначимо n = 2m, де m - натуральне число. Підставимо це у вираз 2n-1 = k^2:

2(2m)-1 = k^2, 4m-1 = k^2.

Очевидно, що ліва частина рівняння 4m-1 є непарним числом, а права частина k^2 є парним числом. Отримали суперечність.

2. Якщо k^2 ≡ 1 (mod 4), тоді k^2 дорівнює 1 за модулем 4. Підставимо це у вираз 2n-1 = k^2:

2n-1 = 1.

Звідси випливає, що 2n = 2, що неможливо, оскільки n - натуральне число, більше за одиницю.

У обох випадках ми отримали суперечність. Отже, припущення про існування такого натурального числа n, для якого 2n-1 є квадратом натурального числа, є невірним. Таким чином, число 2n-1 не може бути квадратом натурального числа для будь-якого натурального числа n, більше за одиницю.