Question

Вычислить логарифмическую производную (ln (5x))^(2x+3)

Answer 1

Ответ:

$y=(ln(5x))^{2x+3}\\\\lny=(2x+3)*ln(ln(5x))\\\\\frac{y'}{y}=2*ln(ln(5x))+(2x+3)*\frac{1}{ln(5x)}*\frac{1}{5x} *5\\y'=(2ln(ln(5x))+\frac{(2x+3)}{x*ln(5x)} )* ln(ln(5x) )^{2x+3}$

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте найдем производную выражения $y = (\ln(5x))^{2x+3}$ по переменной $x$ с использованием правила дифференцирования сложной функции и правила дифференцирования степенной функции.

Правило дифференцирования сложной функции гласит: $\frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x),$ где $f(x)$ и $g(x)$ - функции, $f'(x)$ - производная $f$ по $x$, $g'(x)$ - производная $g$ по $x$.

Правило дифференцирования степенной функции с базой $u$ и показателем $v$ гласит: $\frac{d}{dx} [u^v] = v \cdot u^{v-1} \cdot \frac{du}{dx}.$

В нашем случае $u = \ln(5x)$ и $v = 2x+3$.

1. Найдем производную $u$ по $x$: $\frac{d}{dx} [\ln(5x)] = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x}.$

2. Найдем производную $v$ по $x$: $\frac{d}{dx} [2x+3] = 2.$

Теперь мы готовы применить правило дифференцирования степенной функции: $\frac{dy}{dx} = v \cdot u^{v-1} \cdot \frac{du}{dx} = (2x+3) \cdot (\ln(5x))^{2x+3-1} \cdot \frac{1}{x}.$

Итак, производная выражения $y = (\ln(5x))^{2x+3}$ по переменной $x$ равна: $\frac{dy}{dx} = (2x+3) \cdot \frac{\ln(5x)^{2x+2}}{x}.$