Question

Решите показательные уравнения 1) 2^x=32 2) 2^(x-4)=64 3) (4/5)^x=25/16 4) 3^(x+2)-3^(x+1)+3^x=21 5) 2^(x+1)+4^x=80 6) 7^2x-6∙7^x+5=0 7) 3^2x-2∙3^x=3 Решите показательные неравенства 1) 4^x>1 2) 0,5 ^(4x+3)≤0,5^(6x-1) 3) 4^(5x-1)>16^(3x+2) 4) (1/3)^x≤9 5) (1/2)^(3-x)≥4 6) 2^x+2^(x+2)≤20 7) 3^2x-4∙3^x+3<0

Answer 1

Ответ:

1)2^x=2⁵

2)2^x-4=2⁶

x-4=6

x=6+4

x=10

3)(4/5)^x=(4/5)^-2

4)(3²-3+1)*3^x=21

(9-3+1)*3^x=21

7*3^x=21

3x=3

3^x=3¹ x=1

5)2^x*2+(2²)^x=80

2^x*2+(2^x)²=80

t*2+t²=80

t=8

t=-10

2^x=8

2^x=-10

x=3

6)(7^x)²-6*7^x+5=0

t²-6t+5=0

7^x=5 7^x=1

x(двойка снизу)=log(7 тоже снизу) (5)

х(1 снизу)=0

7)(3^х)²-2*3^х=3

t²-2t=3

t=3 t=-1

3^x=3 3^x=-1

x=1

Answer 2

Давайте решим показательные уравнения и неравенства по очереди:

Показательные уравнения:

1. $2^x = 32$

   Решение: $2^x = 32 = 2^5$ Сравнивая степени, получаем $x = 5$.

2. $2^{x-4} = 64$

   Решение: $2^{x-4} = 64 = 2^6$ Сравнивая степени, получаем $x - 4 = 6$, отсюда $x = 10$.

3. $(4/5)^x = 25/16$

   Решение: $(4/5)^x = 25/16 = (5/4)^{-x}$ Теперь мы видим, что правая сторона также может быть представлена в виде дроби с отрицательной степенью. Таким образом, $x$ должно быть равно $-1$, потому что $(5/4)^{-1} = 4/5$.

4. $3^{x+2} - 3^{x+1} + 3^x = 21$

   Решение: Давайте сначала выразим $3^x$ как общий множитель: $3^x(3^2 - 3 + 1) = 21$ $3^x(9 - 3 + 1) = 21$ $3^x \cdot 7 = 21$ Теперь разделим обе стороны на 7: $3^x = 3$ Сравнивая степени, получаем $x = 1$.

5. $2^{x+1} + 4^x = 80$

   Решение: Заметим, что $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$. Теперь уравнение выглядит так: $2^{x+1} + 2^{2x} = 80$ Теперь приведем обе стороны уравнения к общему основанию 2: $2 \cdot 2^x + 2^{2x} = 80$ Заменим $2^x$ на $t$: $2t + t^2 = 80$ Теперь у нас есть квадратное уравнение: $t^2 + 2t - 80 = 0$ Факторизуем его: $(t + 10)(t - 8) = 0$ Это дает два решения: $t = -10$ и $t = 8$. Но $t$ не может быть отрицательным, так как $2^x$ всегда положительно. Таким образом, $t = 8$, и затем $2^x = 8$, что дает $x = 3$.

6. $7^{2x} - 6 \cdot 7^x + 5 = 0$

   Решение: Давайте представим $7^{2x}$ как $(7^x)^2$: $(7^x)^2 - 6 \cdot 7^x + 5 = 0$ Теперь заменим $7^x$ на $t$: $t^2 - 6t + 5 = 0$ Это квадратное уравнение можно факторизовать: $(t - 5)(t - 1) = 0$ Таким образом, $t = 5$ или $t = 1$. Затем, подставив обратно, получаем два решения: $7^x = 5$ и $7^x = 1$. Поскольку $7^x$ никогда не будет равным 1 (так как 7 в любой степени больше 1), мы имеем $7^x = 5$, что дает $x = \log_7(5)$