Question

15 баллов!!! Найдите целочисленный корень уравнения f(x)=0, если функция f(x) определена при всех действительных x и удовлетворяет условию 4f(x)+9f(2−x)=x2.

Answer 1

4f(x)+9f(2-x)=x^2

Подставим 2-x вместо x

4f(2-x)+9f(x)=(2-x)^2

Имеется система

Домножим первое выражение на 4 а второе на 9

Получим 16f(x)+36f(2-x)=4x^2

36f(2-x)+81f(x)=9*(2-x)^2

Вычтем из второго первое

Получим 65f(x)=9*(2-x)^2-4x^2

65f(x)=9*4-9*4x+9*x^2-4*x^2=36-36x+5x^2

Но f(x)=0

Поэтому 5x^2-36x+36=0

x = (36 +- sqrt (36^2-20*36))/20 = (36 +- 24) / 10

Нам нужен целый корень поэтому x = (36 + 24)/10 = 6

Ответ: x  = 6

Answer 2

Для нахождения целочисленного корня уравнения f(x) = 0, давайте воспользуемся данным условием:

4f(x) + 9f(2 - x) = x^2

Сначала заметим, что если x - целое число, то 2 - x также будет целым числом. Поэтому мы можем рассмотреть два случая:

1. Пусть x - целое число. Тогда 2 - x также целое, и уравнение примет вид:

4f(x) + 9f(2 - x) = x^2

4f(x) + 9f(x) = x^2 // Подставляем 2 - x вместо x

13f(x) = x^2

Теперь нам нужно найти такое целое число x, для которого 13 делит x^2. Это возможно только в том случае, если x само является кратным 13. Таким образом, мы ищем целое значение x, кратное 13.

2. Пусть x - не целое число. В этом случае 2 - x также будет не целым, и мы не можем применить аналогичный подход, как в первом случае.

Итак, мы ищем целое значение x, которое кратно 13. Одним из таких значений будет x = 13. Таким образом, x = 13 является целочисленным корнем уравнения f(x) = 0.