Question

Решить уравнение: sin²x=3cos²x+sin2x

Answer 1

вот думаю все понятно

Пошаговое объяснение:

вот думаю все понятно

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества. Сначала преобразуем уравнение, используя следующие тождества:

1. sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (тождество Пифагора для синуса).
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x) (двойной угол для синуса).

Теперь подставим эти тождества в уравнение:

1 - cos^2(x) = 3cos^2(x) + 2sin(x)cos(x).

Теперь преобразуем уравнение, чтобы все термины синусов и косинусов находились с одной стороны:

1 - cos^2(x) - 3cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) = 0.

Теперь объединим похожие слагаемые и упростим:

-4cos^2(x) - 2sin(x)cos(x) + 1 = 0.

Далее, мы видим, что это квадратное уравнение относительно косинуса. Давайте представим косинус как одну переменную, например, t = cos(x). Тогда у нас будет:

-4t^2 - 2tsin(x) + 1 = 0.

Это квадратное уравнение вида at^2 + bt + c = 0, где a = -4, b = -2sin(x), и c = 1. Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a).

Подставим значения a, b и c:

t = (2sin(x) ± √((-2sin(x))^2 - 4(-4)(1))) / (2(-4)).

Теперь упростим числитель:

t = (2sin(x) ± √(4sin^2(x) + 16)) / (-8).

t = (2sin(x) ± √(4(sin^2(x) + 4)) / (-8).

t = (2sin(x) ± √(4(sin^2(x) + 1)) / (-8).

t = (2sin(x) ± 2√(sin^2(x) + 1)) / (-8).

Теперь можем упростить дальше:

t = (-sin(x) ± √(sin^2(x) + 1)) / (-4).

Теперь вернемся к переменной x, используя t = cos(x):

cos(x) = (-sin(x) ± √(sin^2(x) + 1)) / 4.

Теперь у нас есть два возможных решения для cos(x), и мы можем рассмотреть каждое из них отдельно:

1. cos(x) = (-sin(x) + √(sin^2(x) + 1)) / 4.
2. cos(x) = (-sin(x) - √(sin^2(x) + 1)) / 4.

Исследуем каждое из этих уравнений и найдем соответствующие решения для x.