Question

Игорь и Василий поочередно пишут на доске натуральные числа, которые не превышают 2018 (выписывать уже записанные числа запрещено). Игру начинает Игорь. Если после хода игрока на доске появляются три числа, которые образуют арифметическую прогрессию, то этот игрок выигрывает. Выясните, у кого из игроков выигрышная стратегия? Свой ответ обоснуйте.

Answer 1

Ответ:

У Василия

Пошаговое объяснение:

Первым ходит Игорь. Не важно какое число он напишет.  

Следующим ходит Василий. Ему важно поставить такое число, чтобы следующее число не смогло бы образовать арифметическую прогрессию. То есть разность между числами должна быть нечетной (тогда оно нацело не поделится на 2, соответственно между числами нельзя будет поставить целое среднее арифметическое и образовать прогрессию) и "слишком большой", чтобы нельзя было отложить разность от большего числа и написать новое- член арифметической прогрессии. Лучшем вариантом во втором условии будут крайние числа (1, 2 и 2017, 2018). ИТОГО: Василий должен написать 1 или 2017 (какое число будет "дальше"), если число Игоря чётное либо 2 или 2018 (какое число будет "дальше"), если число Игоря нечётное.

Ход возвращается Игорю. Как бы он ни хотел, он не сможет образовать арифметическую прогрессию. И поставит какое-то число. Нам тоже не важно какое именно.

И снова в игре Василий. У него есть либо 2 чётных числа, либо 2 нечётных числа. А значит он сможет образовать арифметическую прогрессию путём нахождения среднего арифметического чисел одинаковой чётности. Значит он выиграл.

Пример игры:

Игорь: 666

Василий: 2017

Игорь: 174

Василий: (666+174)/2=420.

Числа 174, 420 и 666 образовали арифметическую прогрессию.

Answer 2

Давайте проанализируем эту игру, чтобы определить, у кого из игроков есть выигрышная стратегия.

Игра начинается с Игоря, и они поочередно записывают натуральные числа, не превышающие 2018. Нам нужно определить, есть ли у кого-либо из игроков (Игоря или Василия) выигрышная стратегия.

Для начала обратим внимание на то, что в арифметической прогрессии с тремя числами разница между любыми двумя числами всегда одинакова. Таким образом, если игрок создает арифметическую прогрессию, то он выигрывает.

Теперь давайте рассмотрим несколько случаев:

1. Игроки пытаются создать арифметическую прогрессию из чисел, кратных 1. В этом случае, они будут записывать все натуральные числа вплоть до 2018. Поскольку каждое натуральное число уникально и не повторяется, никакой из игроков не сможет создать арифметическую прогрессию, и игра закончится, когда будут записаны все числа до 2018.

2. Игроки пытаются создать арифметическую прогрессию из чисел, кратных 2. В этом случае, они будут записывать только четные числа до 2018. Это также приведет к тому, что игра закончится, когда будут записаны все четные числа до 2018. Никто не сможет создать арифметическую прогрессию, так как разница между двумя четными числами всегда кратна 2.

3. Игроки пытаются создать арифметическую прогрессию из чисел, кратных 3 и так далее. В каждом из этих случаев игра закончится, когда будут записаны все числа, кратные данному числу (3, 4, 5 и так далее) до 2018. Никто не сможет создать арифметическую прогрессию, так как разница между двумя числами, кратными одному и тому же числу, всегда кратна этому числу.

Из вышеперечисленных случаев видно, что независимо от выбора начального числа, каждый из игроков будет записывать все числа, кратные этому начальному числу, до 2018. Таким образом, ни Игорь, ни Василий не смогут создать арифметическую прогрессию, так как числа, которые они записывают, всегда будут кратны одному и тому же числу.

Следовательно, в этой игре нет выигрышной стратегии для ни одного из игроков, и они будут записывать числа до 2018 без возможности создать арифметическую прогрессию.