Question

Y"-2y' = x^2+x-3 Прошу вас, помогите мне, каким образом решается правая часть? Левая насколько я понял - решается через хракт.уравнение и получаем C1+C2*e^2x но вот что делать с правой частью я не знаю.

Answer 1

То, что решается через характеристическое уравнение - это общее решение. Оно всегда будет независимо от правой части диффура.

По сути, нужно найти так называемое частное решение, и тогда решением для этого диффура будет сумма общего и частного решений.

Частное решение подбирается, исходя из правой части. В данном случае, правая часть есть многочлен второго порядка. Поэтому частное решение будет также иметь вид многочлена, причем многочлена второго порядка: $y_c(x) = Ax^2+Bx+C$ ($y_c(x)$ - частное решение, A, B и C - константы, которые нужно подобрать). Теперь необходимо подставить это решение вместо y в данном диффуре, и найти константы.

(второго порядка потому, что многочлена первого порядка может не хватать, а многочлен не ниже третьего порядка избыточен, можешь попробовать подставить многочлен третьего порядка, но при нахождении коэффициентов он занулится)

UPD: ошибся в выборе многочена. Нужно использовать многочлен третьего порядка: $y_c(x) = Ax^3+Bx^2+Cx+D$ (необходимо, чтобы после подстановки $y_c(x)$ в диффур в левой части получился многочлен не ниже порядка многочлена в правой части)

Answer 2

Уравнение, которое вы представили, является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка. Для его решения, вам потребуется найти частное решение (Particular Solution) и общее решение (General Solution).

Чтобы найти частное решение, связанное с правой частью уравнения, вы можете воспользоваться методом вариации постоянных (Variation of Parameters). Сначала найдем общее решение однородной части уравнения (левой части без правой части) и затем найдем частное решение, используя метод вариации постоянных.

Общее решение однородной части уравнения: Y'' - 2Y' = 0

Сначала найдем характеристическое уравнение: r^2 - 2r = 0

Это уравнение имеет два корня: r1 = 0 r2 = 2

Теперь общее решение однородной части будет иметь вид: Y_h = C1 * e^0x + C2 * e^(2x)

Теперь перейдем к нахождению частного решения, связанного с правой частью уравнения: x^2 + x - 3.

Чтобы использовать метод вариации постоянных, предположим, что частное решение имеет вид Y_p = u1(x) * y1 + u2(x) * y2, где y1 и y2 - это базисные решения однородной части (C1 * e^0x и C2 * e^(2x)), а u1(x) и u2(x) - функции, которые нужно найти.

1. Найдем производные базисных решений: y1 = C1 * e^0x = C1 y2 = C2 * e^(2x)

y1' = 0 y2' = 2C2 * e^(2x)

2. Теперь найдем производные u1(x) и u2(x): u1'(x) = ? u2'(x) = ?

3. Подставим все это в исходное уравнение и решим систему для нахождения u1'(x) и u2'(x).

Y_p'' - 2Y_p' = x^2 + x - 3

(u1'' * y1 + u2'' * y2) - 2(u1' * y1 + u2' * y2) = x^2 + x - 3

Затем подставьте значения производных y1, y2, u1'(x) и u2'(x) в это уравнение и решите его относительно u1'(x) и u2'(x). После этого вы найдете u1(x) и u2(x), и сможете построить частное решение Y_p.

Частное решение Y_p будет выглядеть как: Y_p = u1(x) * C1 + u2(x) * C2 * e^(2x)

После того как вы найдете u1(x) и u2(x), вы сможете объединить частное решение Y_p и общее решение Y_h, чтобы получить полное общее решение дифференциального уравнения.