Question

Найти разложение вектора а по базису p, q, r . a=(6,12,-1), P=(1,3,0), q=(2,-1,1), r=(0,-1,2)

Answer 1

$a=(6;12;-1),\, P=(1;3;0),\, q=(2;-1;1),\, r=(0;-1;2)$

Запишем разложение в виде:

$a=\alpha \,p+\beta \, q+\gamma\, r$

Коэффициенты $\alpha, \quad \beta, \quad\gamma$ найдём через систему уравнений, где координата "х" вектора "а" равна сумме координат остальных векторов, аналогично поступим с координатой "у" и "z":

$></p> <p><img src=$

Найдём остальные переменные подставив значение $\beta$ в первое и третье уравнение системы:

$\left.\begin{array}{ccc} \alpha +2\beta =6\\\alpha +2\times1=6\\\alpha =6-2\\\alpha =4 \end{array}\\\quad\quad \begin{array}{ccc} \beta +2\gamma=-1\\1+2\gamma=-1\\2\gamma=-2\\\gamma=-1 \end{array}$

Подставим полученные коэффициенты в изначальное разложение. Тогда получим:

$a=4 \,p+ q-\, r$

Ответ: $a=4 \,p+ q-\, r$

Answer 2

Для нахождения разложения вектора a по базису p, q, r, нужно найти коэффициенты, с которыми каждый базисный вектор входит в линейную комбинацию, равную вектору a.

Пусть разложение вектора a по базису p, q, r будет представляться следующим образом: a = x * p + y * q + z * r

Тогда нужно найти значения x, y и z.

Для этого воспользуемся методом Гаусса:

1. Составим матрицу из координат базисных векторов и вектора a: | 1 2 0 | | x | | 6 | | 3 -1 -1 | * | y | = | 12 | | 0 1 2 | | z | | -1 |

2. Приведем матрицу к ступенчатому виду: | 1 2 0 | | x | | 6 | | 0 -7 -1 | * | y | = | -6 | | 0 0 2 | | z | | -1 |

3. Разделим вторую строку на -7 и третью строку на 2: | 1 2 0 | | x | | 6 | | 0 1 1/7| * | y | = | 6/7| | 0 0 1 | | z | | -1/2|

Таким образом, получаем систему уравнений: x = 6 y + (1/7)z = 6/7 z = -1/2

Теперь найдем значения y и z: y + (1/7)(-1/2) = 6/7 y - 1/14 = 6/7 y = 6/7 + 1/14 y = 87/98

z = -1/2

Таким образом, разложение вектора a по базису p, q, r будет: a = 6p + (87/98)q - (1/2)r