Question

На плоскости заданы векторы е1(-1;2) е2(2;1) и а(0;-2) убедиться что в=(е1;е2) -базис в множестве всех векторов на плоскости. Найти разложение вектора а по базису в

Answer 1

Думаю так.
0 -1 1
1 0 1
1 2 0

Answer 2

Для того чтобы убедиться, что векторы e1 и e2 образуют базис в множестве всех векторов на плоскости, необходимо проверить два условия:

1. Векторы e1 и e2 линейно независимы.
2. Любой вектор на плоскости может быть выражен как линейная комбинация векторов e1 и e2.

Проверим эти условия:

1. Проверка линейной независимости:

Для векторов e1 и e2: e1 = (-1, 2) e2 = (2, 1)

Предположим, что существуют числа x и y такие, что: x * e1 + y * e2 = (0, 0)

То есть, у нас есть следующая система уравнений: -1x + 2y = 0 2x + y = 0

Решая эту систему, получаем x = 0 и y = 0. Значит, единственное решение системы - тривиальное решение, а значит векторы e1 и e2 линейно независимы.

2. Проверка того, что любой вектор на плоскости может быть выражен как линейная комбинация векторов e1 и e2:

Рассмотрим вектор а = (0, -2).

Теперь мы хотим найти такие числа x и y, чтобы выполнялось: x * e1 + y * e2 = (0, -2)

Составляем систему уравнений: -1x + 2y = 0 2x + y = -2

Решая эту систему, получаем x = 1 и y = -1. Значит, вектор а может быть выражен как линейная комбинация векторов e1 и e2:

а = 1 * e1 + (-1) * e2

Таким образом, мы убедились, что векторы e1 и e2 образуют базис в множестве всех векторов на плоскости.

Разложение вектора а по базису (e1, e2): а = 1 * e1 + (-1) * e2

Подставляя значения векторов e1 и e2, получаем: а = 1 * (-1, 2) + (-1) * (2, 1) = (-1, 2) + (-2, -1) = (-3, 1)

Таким образом, разложение вектора а по базису (e1, e2) равно (-3, 1).