Question

Если произведении двух натуральных чисел одинсомножитель увеличить на 2, а другой уменьшить на 2, то произведениечисел не изменится. Докажите, что если к этому произведениюприбавить 1, то получится квадрат целого числа.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть одно число х, другое у.

Запишем условие

$\displaystyle xy=(x+2)(y-2)\qquad \boldsymbol {(1)}$

Доказать:

$xy+1 = a^2 \qquad \boldsymbol {(2)}$

Из (1) выразим у через х

$\displaystyle xy=(x+2)(y-2)\\\\xy = xy -2x +2y -4\\\\2y = 2x+4\\\\y=x+2 \qquad \boldsymbol {(3)}$

А теперь подставим (3)  в (2)

$xy+1 = x(x+2)+1 = x^2+2x+1=(x+1)^2$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте представим два натуральных числа как $x$ и $y$, их произведение как $xy$.

Условие задачи гласит, что если одно из чисел (пусть это будет $x$) увеличить на 2, а другое (пусть это будет $y$) уменьшить на 2, то произведение чисел не изменится:

$(x + 2)(y - 2) = xy$

Распределим и упростим выражение:

$xy - 2x + 2y - 4 = xy$

Теперь мы видим, что $xy$ находится с обеих сторон уравнения и, следовательно, сокращается:

$- 2x + 2y - 4 = 0$

Теперь давайте добавим 4 к обеим сторонам уравнения:

$-2x + 2y = 4$

Далее, разделим обе стороны на 2:

$-x + y = 2$

Теперь давайте добавим 1 к обеим сторонам:

$-x + y + 1 = 3$

Теперь мы видим, что $x$ и $y$ - целые числа, и левая сторона уравнения является квадратом целого числа:

$(-x + y + 1)^2 = 3^2$

Таким образом, мы доказали, что если к произведению двух натуральных чисел добавить 1, то получится квадрат целого числа.