Question

если в произведении двух натуральных чисел один сомножитель увеличить на 2 а другой уменьшить на 2 то произведение чисел не изменится докажите что если к этому произведению добавить 1, то получится квадрат целого числа ( обязательно объяснение)​

Answer 1

Ответ:

Произведение натуральных

чисел.

Решение:

а€N; b€N.

1 сомножитель ----- а

2 сомножитель ----- b

Произведение первого и вто

рого сомножителей ----- аb

1 сомножитель

(после увеличения) ------- а+2

2 сомножитель

(после уменьшения) ------- b-2

Произведение двух сомножи

телей (после изменений) -------

(а+2)×(b-2)

По условию зачение произве

дения не изменилось.

Составим уравнение:

(а+2)×(b-2)=ab

ab--2a+2b-4=ab

-2a+2b-4=0 | :2

-a+b-2=0

b=a+2

==>

$ab = a(a + 2) = {a}^{2} + 2a$

К произведению аb прибавим

единицу (по условию):

аb+1=a^2+2a+1

Требуется доказать, что полу

ченное выражение

$a b + 1 = {a}^{2} + 2a + 1$

является квадратом целого

числа.

Используем формулу квадрата

суммы (обратную) :

${a}^{2} + 2a + 1 = ( {a + 1})^{2}$

где

(а+1) € Z.

Answer 2

Давайте представим два натуральных числа как $a$ и $b$, их произведение обозначим как $ab$.

Согласно вашему условию, если мы увеличим один из сомножителей на 2, а другой уменьшим на 2, то произведение чисел останется неизменным. Мы можем записать это условие следующим образом:

$(a + 2)(b - 2) = ab$

Теперь давайте раскроем скобки:

$ab - 2a + 2b - 4 = ab$

Теперь давайте перенесем все члены, содержащие $ab$, на одну сторону уравнения:

$ab - ab = 2a - 2b + 4$

$0 = 2(a - b + 2)$

Теперь мы видим, что левая сторона уравнения равна нулю. Это означает, что правая сторона также должна быть равной нулю:

$2(a - b + 2) = 0$

Теперь разделим обе стороны на 2:

$a - b + 2 = 0$

Теперь выразим $a$ через $b$:

$a = b - 2$

Теперь у нас есть выражение для одного из чисел ($a$) через другое ($b$). Мы видим, что $a$ всегда на 2 меньше, чем $b$.

Теперь давайте вернемся к исходному произведению $ab$ и добавим 1:

$ab + 1$

Мы знаем, что $a = b - 2$, поэтому мы можем заменить $a$ в выражении:

$(b - 2)b + 1$

Раскроем скобки:

$b^2 - 2b + 1$

Теперь мы видим, что это выражение является квадратом целого числа. Оно равно $(b - 1)^2$. Таким образом, если к произведению $ab$ добавить 1, то получится квадрат целого числа $(b - 1)^2$.

Таким образом, мы доказали, что если в произведении двух натуральных чисел один сомножитель увеличится на 2, а другой уменьшится на 2, то произведение не изменится, и если к этому произведению добавить 1, то получится квадрат целого числа $(b - 1)^2$, где $b$ - натуральное число.