Question

Довести, що многочлен P_9 (x)=x^9-8x^8+3x^4+2x+2 ділиться на x-1. Розв’яжіть рівняння √(x-6)=x^2+x+√(5-x)

Answer 1

1) По теореме Безу, остаток деление многочлена P(x) на (x-a) равен P(a)

1^9 - 8*1^8 + 3*1^4 + 2*1 + 2 =

1 - 8 + 3 + 2 + 2 = 1 - 8 + 7 = 8 - 8 = 0

2) Из наличия корней можно сказать, что:

1. x должен быть ≥ 6 чтобы √(x-6) извлекалось в действительных числах

2. x должен быть ≤ 5 чтобы √(5 - x) извлекалось в действительных числах

Как видно, у интервалов (-∞; 5] и [6; ∞) нет пересечения, откуда можно сделать вывод, что уравнение в действительных числах не решается и вообще смысла не имеет.

(Комплексные корни ищутся только численными методами, т.к. получится многочлен степени  8 при избавлении от корней, то рассматривать их нет смысла)

Answer 2

Почнемо з першої задачі - довести, що многочлен P_9(x) = x^9 - 8x^8 + 3x^4 + 2x + 2 ділиться на x - 1.

Ми можемо використовувати теорему про ділення многочленів, яка стверджує, що многочлен P(x) ділиться на x - a, якщо P(a) = 0. Тобто, щоб довести, що P_9(x) ділиться на x - 1, ми повинні показати, що P_9(1) = 0.

P_9(1) = 1^9 - 8 * 1^8 + 3 * 1^4 + 2 * 1 + 2 P_9(1) = 1 - 8 + 3 + 2 + 2 P_9(1) = 0

Отже, P_9(1) = 0, що означає, що многочлен P_9(x) ділиться на x - 1.

Тепер перейдемо до другої задачі - розв'язання рівняння √(x - 6) = x^2 + x + √(5 - x).

Спочатку помножимо обидві сторони на √(x - 6), щоб позбутися кореня:

x - 6 = (x^2 + x + √(5 - x)) * √(x - 6)

Тепер можемо позбутися квадратного кореня, піднімаючи обидві сторони рівняння до квадрату:

(x - 6)^2 = (x^2 + x + √(5 - x))^2

Порозрізняємо праву частину рівняння:

(x - 6)^2 = x^4 + 2x^3 + (5 - x)

Розкриваємо квадрат лівої частини:

x^2 - 12x + 36 = x^4 + 2x^3 + 5 - x

Тепер приведемо всі члени на одній стороні рівняння:

x^4 + 2x^3 - 11x + 31 = 0

Отримане рівняння є квартичним многочленом, і його розв'язок може бути складним завданням. Це рівняння може бути розв'язане числовими методами, такими як метод Ньютона або метод бісекції, або за допомогою комп'ютерних програм. Якщо потрібно точний числовий розв'язок, вам, можливо, доведеться використовувати числовий метод або програму для обчислення коренів.