Question

Привести уравнение кривой второго порядка f(х,у)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах+Ву+С=0 х + у ²- 2у + 3 = 0, х + у + 1 = 0

Answer 1

Даны уравнения кривой х + у ²- 2у + 3 = 0 и прямой  х + у + 1 = 0.

1) В уравнении кривой выделяем полные квадраты:

(y²-2·1y + 1) -1·1 = (y-1)²-1 .

Преобразуем исходное уравнение:

(y-1)² = -x -2 .

Получили уравнение параболы:

(y - y0)² = 2p(x - x0) ,

(y-1)² = 2·(-1/2)(x - (-2)) .

Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), то есть в точке (-2;1) .

Параметр p = (-1/2 )

Координаты фокуса:  F((xo + (p/2)); yo) = ((-2 - (1/4)); 1) =( (-9/4);1).

Уравнение директрисы: x = x0 - p/2

x = -2 -  (-1/4) = (-7/4 ).

2) Координаты точек пересечения находим совместным решением уравнений кривой и прямой.

х + у ²- 2у + 3 =  х + у + 1 ,

у ²- 3у + 2 = 0,  Д = 9 - 4*1*2 = 1, у1 = (3 - 1)/2 = 1,  у2 = (3 + 1)/2 = 2.

х1 = -у - 1 = -1 - 1 = -2,  х2 = -2 - 1 = -3.

Answer 2

Для того чтобы привести уравнение кривой второго порядка $f(x, y) = 0$ к каноническому виду и найти точки её пересечения с прямой $Ax + By + C = 0$, следует выполнить несколько шагов.

У вас дано уравнение кривой: $x + y^2 - 2y + 3 = 0$.

1. Приведем уравнение к каноническому виду для параболы: $x + (y - 1)^2 - 1 + 3 = 0$ $x + (y - 1)^2 = -2$

   Теперь у нас есть уравнение параболы в каноническом виде: $x + (y - k)^2 = 4p$, где $k$ - вершина параболы, а $p$ - фокусное расстояние. В данном случае $k = 1$ и $4p = -2$, поэтому $p = -1/2$.

2. Теперь мы можем найти точки пересечения параболы с прямой $Ax + By + C = 0$. В данном случае $A = 1$, $B = 1$, $C = 1$.

   Подставим уравнение параболы в уравнение прямой: $x + (y - 1)^2 = 4p$ $x + (y - 1)^2 = 4(-1/2)$ $x + (y - 1)^2 = -2$

   Теперь подставим это уравнение в уравнение прямой: $1x + 1(y - 1)^2 + 1 = 0$ $x + (y - 1)^2 + 1 = 0$

   Теперь у нас есть уравнение параболы в каноническом виде и уравнение прямой. Чтобы найти точки их пересечения, можно решить эту систему уравнений методом подстановки:

   Подставим выражение из уравнения параболы в уравнение прямой: $(-2) + 1 + 1 = 0$ $-2 + 2 = 0$

   Это уравнение верно, и оно имеет единственное решение, которое соответствует точке пересечения параболы и прямой.

   Таким образом, точка пересечения параболы $x + y^2 - 2y + 3 = 0$ и прямой $x + y + 1 = 0$ - это точка $(0, -1)$.