Question

Привести общее уравнение кривой второго порядка f(x,y )=0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой Ax+By+C=0 . Построить графики кривой и прямой. f(x,y )=0 y^2-2y+3x-3=0 Ax+By+C=0 x+y+1=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1) определим тип кривой и приведем к каноническому виду.

y² - 2y + 3x - 3 = 0

Приводим квадратичную форму

B = y²

к главным осям, то есть к каноническому виду.

матрица этой квадратичной формы:

0   0

0   1

находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

(0 - λ)x₁ + 0y₁ = 0

0x₁ + (1 - λ)y₁ = 0

характеристическое уравнение:

$\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda&0\\0&1-\lambda\\\end{array}\right] =\lambda^2-\lambda=0$

$\lambda^2 - \lambda =0;$  ⇒  $\lambda_1 = 1;$    $\lambda_2 = 0;$

итак, мы имеем параболу   $(\lambda_2 = 0)$

обшее уравнение  канонического вида

(y - y₀)² = 2p(x - x₀)

выделим в нашем уравнении полный квадрат для у

(y² -2y +1) +3x -3 -1 =0

(y-1)² =  -3x -4

теперь нам надо справа выделить 2р и (х -х₀)

(y-1)² = 2*(-3/2)(x -4/3) - это и есть канонический вид заданного уравнения

теперь точки пересечения

мне удобнее решать систему

$\left \{ {{y^2-2y+3x-3=0} \atop {x+y+1=0}} \right.$

із второго выразим х и подставим в первое

x = -y -1

y²-2y+3(-y-1) -3=0; y² -5y -6 = 0; ⇒ y₁ = 6;   y₂= -1  ⇒ х₁ = -6-1=-7;  х₂ = -(-1)-1 =0

вот это получились наши точки пересечения

М₁(-7;6)   М₂(0; -1)

Answer 2

Для приведения общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Преобразовать общее уравнение кривой второго порядка вида: $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

2. Применить линейные преобразования координат, чтобы избавиться от членов смешанной степени Bxy. Для этого нам нужно найти угол поворота α, такой, что: $tan(2α) = \frac{B}{A-C}$

3. Повернуть координатную систему на угол -α с помощью следующих преобразований: $x' = x\cdot\cos(-α) - y\cdot\sin(-α)$ $y' = x\cdot\sin(-α) + y\cdot\cos(-α)$

4. В новых координатах уравнение примет канонический вид: $A'x'^2 + C'y'^2 + Dx' + Ey' + F = 0$ Где A' и C' - новые коэффициенты после поворота.

Давайте выполним эти шаги для вашего уравнения и прямой.

Уравнение кривой второго порядка: $y^2 - 2y + 3x - 3 = 0$

Сравниваем с общим уравнением: $A = 0, \quad B = 0, \quad C = 1, \quad D = 3, \quad E = -2, \quad F = -3$

Теперь найдем угол поворота α: $tan(2α) = \frac{B}{A-C} = \frac{0}{0-1} = 0$

Это означает, что угол поворота α равен нулю, и нам не нужно выполнять поворот координат. Теперь у нас есть каноническое уравнение: $x^2 + y^2 + 3x - 2y - 3 = 0$

Теперь давайте найдем точки пересечения этой кривой с прямой $Ax+By+C=0$, в нашем случае $x+y+1=0$.

Подставим уравнение прямой в уравнение кривой: $x^2 + y^2 + 3x - 2y - 3 = 0$ $(x+y+1)^2 + 3x - 2y - 3 = 0$

Раскроем квадрат и упростим: $x^2 + 2xy + y^2 + 3x - 2y + 1 + 3x - 2y - 3 = 0$ $x^2 + 2xy + y^2 + 6x - 4y - 2 = 0$

Теперь мы имеем уравнение кривой и прямой в каноническом виде. Теперь найдем их точки пересечения, решив систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + 2xy + y^2 + 6x - 4y - 2 = 0 \\ x + y + 1 = 0 \end{cases}$

Выразим, например, y из второго уравнения: $y = -x - 1$, и подставим это в первое уравнение: $x^2 + 2x(-x - 1) + (-x - 1)^2 + 6x - 4(-x - 1) - 2 = 0$

Решим это уравнение для x: $x^2 - 2x^2 + x^2 + 6x + 4x - 2x - 4 - 4 - 2 = 0$ $x^2 + 2x - 6 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение для x. Используя квадратное уравнение, получаем два значения x: $x_1 = -3, \quad x_2 = 2$