Question

Периметр основи правильної чотирикутної піраміди 72 см.Знайти висоту, якщо апофема дорівнює 15 см.​

Answer 1

Дано:

ABCDS — правильна чотирикутна піраміда;

P (ABCD) = 72 см;

SK = 15 см;

Знайти:

SO

                                              Розв'язання:

Периметр фігури — це сума її сторін.

Так як піраміда є правильною чотирикутною, то її основа — це квадрат, а у квадрата всі стороні рівні.

Звідси, AB = BC = CD = AD = P : 4 = 72 : 4 = 18 (см).

Розглянемо △ SOK.  ∠SOK = 90°, бо висота піраміди є перпендикуляром до площини основи, а значить і до всіх прямих, що належать цій площині.

Тож △ SOK прямокутний.

Апофема SK — це висота бічної грані піраміди (SDC), тобто SK ⊥ DC.

За теоремою про три перпендикуляри, її проекція на основу OK ⊥ DC.

Тоді OK — це перпендикуляр, опущений з центра квадрата на його сторону, і він дорівнює половині сторони квадрата.

Отже, $OK = \frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 18 = 9$ (см).

За теоремою Піфагора, квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

$SK^2 = SO^2 + OK^2$

Звідси знайдемо висоту піраміди:

$SO = \sqrt{SK^2 - OK^2}$

$SO = \sqrt{15^2 - 9^2}$

$SO = \sqrt{225 - 81}$

$SO = \sqrt{144}$

SO = 12 (см).

Відповідь: висота піраміди дорівнює 12 см.

Answer 2

Для знаходження висоти правильної чотирикутної піраміди за відомим периметром основи і довжиною апофеми можна скористатися наступною формулою:

$h = \frac{2 \cdot A}{P},$

де:

• $h$ - висота піраміди,
• $A$ - площа основи піраміди,
• $P$ - периметр основи піраміди.

У вашому випадку, ви маєте відомий периметр основи ($P = 72$ см) і довжину апофеми ($a = 15$ см).

Площу основи піраміди можна знайти, розділивши її на чотири рівні прямокутники, кожен з яких має висоту $h$ і сторони основи. Оскільки це правильна чотирикутна піраміда, то всі ці сторони рівні.

Площа одного з прямокутників буде:

$A_{\text{прямокутника}} = \frac{a \cdot P}{4} = \frac{15 \, \text{см} \cdot 72 \, \text{см}}{4} = 270 \, \text{см}^2.$

Тепер ми можемо знайти висоту піраміди, використовуючи формулу:

$h = \frac{2 \cdot A}{P} = \frac{2 \cdot 270 \, \text{см}^2}{72 \, \text{см}} = \frac{540 \, \text{см}^2}{72 \, \text{см}} = 7.5 \, \text{см}.$

Отже, висота правильної чотирикутної піраміди дорівнює 7.5 см.