Question

Решение дифференциального уравнения первого порядка методом Бринелля (1+x^2)y-2xy=(1+x^2)^2 y0=5 x0=2

Answer 1

$(1 + {x}^{2} )y - 2xy = {(1 + {x}^{2} )}^{2}$

разделим на (1+х^2)

$y - \frac{2xy}{1 + {x}^{2} } = 1 + {x}^{2}$

это ЛДУ

замена:

$y = UV \\ y = U'V + V'U$

$U'V + V'U - \frac{2xUV}{1 + {x}^{2} } = 1 + {x}^{2} \\ U'V + U(V'- \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } ) = 1 + {x}^{2}$

$1)V' - \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } = 0 \\ \frac{dV}{dx} = \frac{2xV}{1 + {x}^{2} } \\ \int\limits \frac{dV}{V} = \int\limits \frac{2xdx}{1 + {x}^{2} } \\ ln(V) = \int\limits \frac{d(1 + {x}^{2}) }{1 + {x}^{2} } \\ ln(V) = ln(1 + {x}^{2} ) \\ v = 1 + {x}^{2}$

$U'V = 1 + {x}^{2} \\ \frac{dU}{dx} \times (1 + {x}^{2} ) = 1 + {x}^{2} \\ \int\limits \: dU = \int\limits \: dx \\ U = x + C$

$y = (1 + {x}^{2} )(x + C) = \\ = {x}^{3} + C {x}^{2} + x + C$

общее решение

$y(2) = 5$

$5 = {2}^{3} + C {2}^{2} + 2 + C \\ 4C + C = 5 - 8 - 2 \\ 5C = - 5 \\ C= - 1$

$y = {x}^{3} - {x}^{2} + x - 1$

частное решение

Answer 2

Метод Бринелля - это численный метод для решения дифференциальных уравнений первого порядка. Давайте рассмотрим ваше уравнение:

(1 + x^2)y - 2xy = (1 + x^2)^2

Сначала выразим y' (производную y) из уравнения. Для этого давайте преобразуем уравнение:

(1 + x^2)y - 2xy = (1 + x^2)^2

Выразим y' (производную y) следующим образом:

y' = [(1 + x^2)^2 - (1 + x^2)y] / 2x

Теперь мы можем начать решать это уравнение методом Бринелля. Для этого давайте введем новую переменную:

u(x) = y(x) / (1 + x^2)

Теперь выразим производную u:

u' = (y' * (1 + x^2) - y * 2x) / (1 + x^2)^2

Теперь мы можем заменить y' в уравнении для u:

u' = [((1 + x^2)^2 - (1 + x^2)y) / (2x)] * (1 + x^2) - y * 2x / (1 + x^2)^2

u' = [(1 + x^2)^3 - (1 + x^2)y(1 + x^2)] / (2x(1 + x^2)) - 2xy / (1 + x^2)^2

Теперь мы можем переписать наше исходное уравнение в терминах u:

u' = [(1 + x^2)^3 - (1 + x^2)y(1 + x^2)] / (2x(1 + x^2)) - 2xy / (1 + x^2)^2

u' = [(1 + x^2)^3 - (1 + x^2)^3] / (2x(1 + x^2)) - 2xy / (1 + x^2)^2

Теперь упростим числитель в первом слагаемом:

u' = [0] / (2x(1 + x^2)) - 2xy / (1 + x^2)^2

u' = 0 - 2xy / (1 + x^2)^2

u' = -2xy / (1 + x^2)^2

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение для u:

u' = -2xy / (1 + x^2)^2

Давайте решим это уравнение:

u' = -2xy / (1 + x^2)^2

Разделим обе стороны на -2x:

u' / (-2x) = y / (1 + x^2)^2

-u' / (2x) = y / (1 + x^2)^2

Теперь мы можем проинтегрировать обе стороны по x:

∫(-u' / (2x)) dx = ∫(y / (1 + x^2)^2) dx

(-1/2)∫(u' / x) dx = ∫(y / (1 + x^2)^2) dx

(-1/2)ln(|x|) + C1 = ∫(y / (1 + x^2)^2) dx + C2

Теперь объединим константы C1 и C2 в одну общую константу C:

(-1/2)ln(|x|) + C = ∫(y / (1 + x^2)^2) dx

Теперь мы получили уравнение, связывающее u и x. Теперь нам нужно решить это уравнение для u и затем вернуться к исходной переменной y.

Если вам нужна дополнительная помощь в решении этого интеграла или в определении константы C, пожалуйста, дайте мне знать.