Question

(1:5)^(5x^2)<(1:5)^(6x-1) помогите решить неравенство.

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться следующими свойствами степеней и логарифмов:

1. Если a > 0 и b > 0, то a^x < b^x, если и только если x < 0 или a < b.
2. Если a > 0 и b > 0, то a^x > b^x, если и только если x > 0 или a > b.
3. Если a > 0 и b > 0, то a^x = b^x, если и только если x = 0 или a = b.

В данном неравенстве у нас есть две степени с одинаковой базой (1:5), поэтому мы можем применить эти свойства:

(1:5)^(5x^2) < (1:5)^(6x-1)

Сначала уберем общую базу, разделив обе стороны на (1:5)^(5x^2):

1 < (1:5)^(6x-1-5x^2)

Теперь у нас есть неравенство с одинаковой базой. Сравним показатели степени:

6x - 1 - 5x^2 > 0

Перегруппируем члены:

-5x^2 + 6x - 1 > 0

Теперь давайте решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни квадратного уравнения -5x^2 + 6x - 1 = 0:

Для этого используем квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = -5, b = 6 и c = -1. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = 6^2 - 4(-5)(-1) = 36 - 20 = 16

Так как D > 0, у нас есть два корня:

x1 = (-b + √D) / (2a) = (-6 + 4) / (-10) = 1/5 x2 = (-b - √D) / (2a) = (-6 - 4) / (-10) = 1

Теперь мы знаем корни, и мы можем использовать их, чтобы разбить неравенство на интервалы:

1. Для x < 1/5: -5x^2 + 6x - 1 > 0
2. Для 1/5 < x < 1: -5x^2 + 6x - 1 < 0
3. Для x > 1: -5x^2 + 6x - 1 > 0

Теперь найдем знаки на каждом из этих интервалов:

1. Для x < 1/5: -5x^2 + 6x - 1 > 0 Подставляем x = 0: -1 > 0 - неверно. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется.

2. Для 1/5 < x < 1: -5x^2 + 6x - 1 < 0 В данном интервале неравенство выполняется.

3. Для x > 1: -5x^2 + 6x - 1 > 0 Подставляем x = 2: -5(2)^2 + 6(2) - 1 > 0 -20 + 12 - 1 > 0 -9 > 0 - неверно. Значит, на этом интервале неравенство не выполняется.

Итак, неравенство (1:5)^(5x^2) < (1:5)^(6x-1) выполняется только на интервале 1/5 < x < 1.