Question

Помогите пожалуйста) найти интеграл ∫(2-cos x)^4 sin xdx ​

Answer 1

$I = \int (2-\cos(x))^4\cdot \sin(x)\;\mathrm{d}x$

Делаем замену переменной:

$t = 2 - \cos(x)$

$\mathrm{d}t = \mathrm{d}(2-\cos(x)) = \sin(x)\mathrm{d}x$

$\mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{\sin(x)}$

$I = \int t^4\cdot\sin(x)\cdot\frac{\mathrm{d}t}{\sin(x)} =$

$= \int t^4\;\mathrm{d}t = \frac{t^5}{5} + C =$

$= \frac{(2 - \cos(x))^5}{5}+C$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

1. ∫t4 (4cверху должана бить)dt

2$\frac{t}{5}$(ещо тамге т дожна сверху бить 5)

(2-cos(x))             (cнизу дожна бить риска дроба снизу тамге рискадробу число 5 и там геде две душки сверху дожна бить 5)

(2-СOS(X))    (СВЕРХУ ПОСЛЕ ДУЖОК ДОЛЖНА БИТЬ 5) ПОТОМ ИДЕТ РИСКА ДРОБА И ПОД РИКОЙ ДРОБА ТА ВИХОДИТ 5)+С+С

Answer 3

Для нахождения интеграла ∫(2 - cos(x))^4 * sin(x)dx можно воспользоваться методом интегрирования по частям несколько раз. Воспользуемся следующей формулой интегрирования по частям:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv выбираются так, чтобы облегчить интегрирование. В данном случае выберем:

u = (2 - cos(x))^4, dv = sin(x)dx.

Теперь найдем производные и дифференциалы:

du = 4(2 - cos(x))^3 * sin(x)dx, v = -cos(x).

Подставим все в формулу интегрирования по частям:

∫(2 - cos(x))^4 * sin(x)dx = - (2 - cos(x))^4 * cos(x) - ∫[-cos(x) * 4(2 - cos(x))^3 * sin(x)]dx.

Теперь у нас есть новый интеграл в правой части. Мы можем применить интегрирование по частям снова, чтобы упростить его. В этот раз выберем:

u = 4(2 - cos(x))^3, dv = -cos(x) * sin(x)dx.

Вычислим производные и дифференциалы:

du = -12(2 - cos(x))^2 * sin(x)dx, v = 1/2 * sin^2(x).

Применим формулу интегрирования по частям снова:

∫[-cos(x) * 4(2 - cos(x))^3 * sin(x)]dx = - (4(2 - cos(x))^3 * 1/2 * sin^2(x)) - ∫[(-12(2 - cos(x))^2 * sin(x)) * (1/2 * sin^2(x))]dx.

Теперь у нас есть еще один интеграл в правой части, который можно упростить, используя интегрирование по частям снова. В этот раз выберем:

u = -12(2 - cos(x))^2, dv = 1/2 * sin^2(x)dx.

Найдем производные и дифференциалы:

du = 24(2 - cos(x))(sin(x))^2dx, v = -1/4 * (sin(2x) - 2x).

Применим формулу интегрирования по частям еще раз:

∫[(-12(2 - cos(x))^2 * sin(x)) * (1/2 * sin^2(x))]dx = - (12(2 - cos(x))^2 * (-1/4 * (sin(2x) - 2x))) - ∫[(-1/4 * (sin(2x) - 2x)) * (24(2 - cos(x))(sin(x))^2dx)].

Теперь у нас есть последний интеграл в правой части. Мы можем его вычислить без дополнительных интегрирований, так как это интеграл от произведения функций синуса и косинуса. Интеграл от синуса и косинуса в одной и той же точке равен нулю:

∫[(-1/4 * (sin(2x) - 2x)) * (24(2 - cos(x))(sin(x))^2dx)] = 0.

Теперь мы можем объединить все результаты:

∫(2 - cos(x))^4 * sin(x)dx = - (2 - cos(x))^4 * cos(x) - (- (4(2 - cos(x))^3 * 1/2 * sin^2(x))) = (2 - cos(x))^4 * cos(x) + 2(2 - cos(x))^3 * sin^2(x).

Это окончательный ответ на интеграл ∫(2 - cos(x))^4 * sin(x)dx.