Question

Упростите выражение sin(П/2 + a)-cos(П - a) + tg (П - a) + ctg( П/2 - a)​

Answer 1

Ответ:

2cosa

Пошаговое объяснение:

$sin(\frac{\pi }{2} + a ) = cos a\\cos(\pi -a) = -cosa\\tg(\pi -a) = -tga\\ctg(\frac{\pi }{2} - a ) = tga\\\\sin(\frac{\pi }{2} + a ) - cos(\pi -a) + tg(\pi -a) + ctg(\frac{\pi }{2} - a ) = \\= cosa - (-cosa) + (-tga) + tga = 2cosa$

Answer 2

Для упрощения данного выражения воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Тождество суммы для синуса: sin(П/2 + a) = sin(П/2)cos(a) + cos(П/2)sin(a) = 1cos(a) + 0sin(a) = cos(a)

2. Тождество разности для косинуса: cos(П - a) = cos(П)cos(a) + sin(П)sin(a) = -1cos(a) + 0sin(a) = -cos(a)

3. Тождество суммы для тангенса: tg(П - a) = (sin(П - a))/(cos(П - a)) = (-sin(a))/(-cos(a)) = sin(a)/cos(a) = tg(a)

4. Тождество разности для котангенса: ctg(П/2 - a) = (cos(П/2 - a))/(sin(П/2 - a)) = (cos(a))/(sin(a)) = ctg(a)

Теперь заменим исходное выражение с использованием полученных тождеств:

cos(a) - (-cos(a)) + tg(a) + ctg(a)

Поскольку минус и минус дают плюс, получаем:

cos(a) + cos(a) + tg(a) + ctg(a)

Для дальнейшего упрощения можно объединить однотипные слагаемые:

2*cos(a) + tg(a) + ctg(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2*cos(a) + tg(a) + ctg(a).