Question

Помогите с уравнениями sin² x - 3 sin x +2=0 и sin² x - 2 sin x cos x - 3 cos² x =0

Answer 1

.......................................

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1. Уравнение sin²(x) - 3sin(x) + 2 = 0:

Для решения этого уравнения давайте введем замену. Пусть y = sin(x), тогда уравнение примет вид:

y² - 3y + 2 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для y. Мы ищем два числа, которые умножаются на 2 и дают 2, а складываются до -3. Эти числа -1 и -2:

(y - 1)(y - 2) = 0

Теперь мы можем найти значения y:

y - 1 = 0 => y = 1 y - 2 = 0 => y = 2

Но помните, что мы ввели замену: y = sin(x). Теперь мы можем найти x:

1. Если y = 1, то sin(x) = 1. Это происходит при x = π/2 + 2πk, где k - целое число.
2. Если y = 2, то sin(x) = 2. Такого значения sin(x) не существует, поэтому это уравнение не имеет решений.

Итак, решение уравнения sin²(x) - 3sin(x) + 2 = 0: x = π/2 + 2πk, где k - целое число.

2. Уравнение sin²(x) - 2sin(x)cos(x) - 3cos²(x) = 0:

Давайте воспользуемся тригонометрической идентичностью sin²(x) = 1 - cos²(x) и подставим ее в уравнение:

1 - cos²(x) - 2sin(x)cos(x) - 3cos²(x) = 0

Теперь объединим члены с cos²(x):

-4cos²(x) - 2sin(x)cos(x) + 1 = 0

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно cos(x). Давайте введем замену: t = cos(x), тогда уравнение примет вид:

-4t² - 2st + 1 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение для t, используя квадратное уравнение:

D = (-2s)² - 4(-4)(1) = 4s² + 16

Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

t = (-2s ± √(4s² + 16)) / (2(-4))

t = (-s ± √(s² + 4)) / 2

Теперь вернемся к нашей замене: t = cos(x). Мы можем найти x:

1. cos(x) = (-s + √(s² + 4)) / 2
2. cos(x) = (-s - √(s² + 4)) / 2

Теперь найдем синус x, используя тригонометрическую идентичность sin(x) = ±√(1 - cos²(x)):

1. sin(x) = ±√(1 - (-s + √(s² + 4))² / 4)
2. sin(x) = ±√(1 - (-s - √(s² + 4))² / 4)

Теперь у нас есть два уравнения для sin(x) и cos(x). Вы можете решить их численно для конкретных значений s, чтобы найти x.