Question

Даны вершины треугольника А (5;0;4), В (4;-1;1), С (1;0). Вычислить его высоту, проведённую из вершины В и косинус внутреннего угла В.

Answer 1

Ответ:

в) я его быстро вычеслил

Answer 2

Для вычисления высоты треугольника, проведенной из вершины В, и косинуса внутреннего угла B, нам понадобятся следующие шаги:

1. Найдем векторы AB и AC, исходя из координат вершин A, B и C:

   Вектор AB = B - A = (4, -1, 1) - (5, 0, 4) = (-1, -1, -3) Вектор AC = C - A = (1, 0) - (5, 0, 4) = (-4, 0, -4)

2. Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу площади треугольника через векторное произведение:

   Площадь треугольника ABC = 1/2 * |AB x AC|

   Где AB x AC - векторное произведение векторов AB и AC.

   Вычислим векторное произведение:

   AB x AC = ((-1) * (-4) - (-1) * 0, (-1) * (-4) - (-3) * (-4), (-1) * 0 - (-3) * (-4)) = (4, -13, 12)

   Теперь найдем модуль этого вектора:

   |AB x AC| = √(4^2 + (-13)^2 + 12^2) = √(16 + 169 + 144) = √(329) ≈ 18.14

   Площадь треугольника ABC = 1/2 * 18.14 = 9.07

3. Теперь вычислим высоту треугольника, проведенную из вершины B, используя формулу для площади треугольника:

   Площадь треугольника ABC = 1/2 * AB * h

   Где AB - длина стороны треугольника, а h - высота.

   9.07 = 1/2 * |AB| * h

   Теперь найдем длину стороны AB:

   |AB| = √((-1)^2 + (-1)^2 + (-3)^2) = √(1 + 1 + 9) = √11

   Теперь решим уравнение для высоты h:

   9.07 = 1/2 * √11 * h

   Умножим обе стороны на 2/√11:

   18.14/√11 = h

4. Теперь найдем косинус угла B, используя формулу косинуса угла в треугольнике:

   cos(B) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * |AB| * |BC|)

   Где AB - длина стороны AB, BC - длина стороны BC, а AC - длина стороны AC.

   AB = √11 (как мы вычислили ранее) BC = |AC| = √((-4)^2 + 0^2 + (-4)^2) = √(16 + 0 + 16) = √32 = 4√2 AC = |AB - BC| = |√11 - 4√2| = √11 - 4√2

   Теперь подставим все значения в формулу для косинуса B:

   cos(B) = (√11^2 + (4√2)^2 - (√11 - 4√2)^2) / (2 * √11 * 4√2)

   Вычислим числитель:

   cos(B) = (11 + 32 - (11 - 8√22 + 32)) / (2 * √11 * 4√2)

   cos(B) = (43 - 11 + 8√2 - 32) / (2 * √11 * 4√2)

   cos(B) = (32 - 11 + 8√2) / (2 * √11 * 4√2)

   cos(B) = (21 + 8√2) / (2 * √11 * 4√2)

   cos(B) = (21 + 8√2) / (8√22)

   Упростим дробь, деля числитель и знаменатель на 8:

   cos(B) = (21/8 + √2) / (√2)

   Теперь умножим числитель и знаменатель на √2:

   cos(B) = (21/8 + √2) * (√2/√2)

   cos(B) = (21√2/16 + 2/√2)

   Умножим второй член на √2/√2:

   cos(B) = (21√2/16 + 2√2/2)

   cos(B) = (21√2/16 + √2)

Таким образом, высота треугольника, проведенная из вершины B, составляет 18.14/√11, а косинус угла B равен (21√2/16 + √2).