Question

Найти производную функции y=√(1+x^2)(1-x^2)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$y=\sqrt{(1+x^2)(1-x^2)}=\sqrt{1-x^4} \\y'=(\sqrt{1-x^4} )'=((1-x^4)^{\frac{1}{2} } )'=\frac{1}{2} *(1-x^4)^{\frac{-1}{2} } *(-4x^3)=\\=\frac{-2x^3}{\sqrt{1-x^4} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = √((1 + x^2)(1 - x^2)), мы воспользуемся правилом производной произведения и цепного правила.

Сначала разложим функцию на два множителя:

1. u(x) = √(1 + x^2)
2. v(x) = √(1 - x^2)

Теперь вычислим производные каждого из этих множителей:

1. Найдем производную u(x): u'(x) = (1/2)(1 + x^2)^(-1/2) * (2x) = x / √(1 + x^2)

2. Найдем производную v(x): v'(x) = (1/2)(1 - x^2)^(-1/2) * (-2x) = -x / √(1 - x^2)

Теперь мы можем использовать правило производной произведения (производной умножения) для вычисления производной исходной функции y(x):

y'(x) = u(x) * v'(x) + u'(x) * v(x)

y'(x) = (√(1 + x^2)) * (-x / √(1 - x^2)) + (x / √(1 + x^2)) * (√(1 - x^2))

Теперь упростим это выражение:

y'(x) = -x√(1 + x^2) / √(1 - x^2) + x√(1 - x^2) / √(1 + x^2)

Общий знаменатель для обоих членов выражения можно найти, умножив оба члена на √(1 - x^2)(1 + x^2):

y'(x) = [-x√(1 + x^2)(1 - x^2) + x√(1 - x^2)(1 + x^2)] / [√(1 - x^2)(1 + x^2)]

Теперь упростим числитель:

y'(x) = [-x(1 - x^2)√(1 + x^2) + x(1 + x^2)√(1 - x^2)] / [√(1 - x^2)(1 + x^2)]

y'(x) = -x(1 - x^2)√(1 + x^2) + x(1 + x^2)√(1 - x^2) / [√(1 - x^2)(1 + x^2)]

Таким образом, производная функции y(x) равна:

y'(x) = [-x(1 - x^2)√(1 + x^2) + x(1 + x^2)√(1 - x^2)] / [√(1 - x^2)(1 + x^2)]