Question

Знайдіть похідну d^2y/dx^2 функції , заданої параметрично:x = ctg^2 e^t , y=1/sin e^t

Answer 1

Ответ:

$x = {ctg}^{2} ( {e}^{t} ) \\ y = \frac{1}{ \sin( {e}^{t} ) }$

$y'x = \frac{y't}{x't} \\ y''x = \frac{(y'x)'t}{x't}$

$y't = - { \sin }^{ - 2} ( {e}^{t} ) \times \cos( {e}^{t} ) \times {e}^{t} = \frac{ {e}^{t} \cos( {e}^{t} ) }{ { \sin}^{2}( {e}^{t}) }$

$x't = 2ctg( {e}^{t} ) \times ( - \frac{1}{ { \sin}^{2} {e}^{t} } ) \times {e}^{t}$

$y'x = \frac{ {e}^{t} \cos( {e}^{t} ) }{ { \sin }^{2}( {e}^{t} ) } \times ( - \frac{ { \sin}^{2}( {e}^{t} ) }{2ctg( {e}^{t}) {e}^{t} } ) = \\ = - \cos( {e}^{t} ) \times \frac{1}{2} \frac{ \sin( {e}^{t} ) }{ \cos( {e}^{t} ) } = \\ = - \frac{1}{2} \sin( {e}^{t} )$

$(y'x)'t = - \frac{1}{2} \cos( {e}^{t} ) \times {e}^{t}$

$y''x = - \frac{1}{2} \cos( {e}^{t} ) {e}^{t} \times ( - \frac{ { \sin }^{2} ({e}^{t} ) }{2ctg( {e}^{t} ){e}^{t} } ) = \\ = \frac{1}{4} \cos( {e}^{t} ) \times { \sin }^{2}( {e}^{t} ) \times \frac{ \sin( {e}^{t} ) }{ \cos( {e}^{t} ) } = \\ = \frac{1}{4} { \sin }^{3} ( {e}^{t} )$

Answer 2

Щоб знайти другу похідну d^2y/dx^2 цієї функції, спершу знайдемо похідні x та y від параметра t, а потім використаємо правило ланцюгового диференціювання.

Дано: x = ctg^2(e^t) y = 1/sin(e^t)

Спершу знайдемо похідні x і y по t: dx/dt = d/dt (ctg^2(e^t)) dy/dt = d/dt (1/sin(e^t))

1. Знайдемо dx/dt: dx/dt = d/dt (ctg^2(e^t))

Для обчислення цієї похідної використовуємо правило ланцюгового диференціювання:

dx/dt = d/dt (ctg^2(u)) * du/dt, де u = e^t

dx/dt = 2ctg(e^t) * (ctg(e^t))' (похідна ctg^2(u))

Тепер знайдемо (ctg(e^t))': (ctg(e^t))' = -csc^2(e^t) * (e^t)' (похідна ctg(u))

(e^t)' = e^t (похідна e^t)

Таким чином, ми маємо: (ctg(e^t))' = -csc^2(e^t) * e^t

Повернемося до dx/dt: dx/dt = 2ctg(e^t) * (-csc^2(e^t) * e^t)

Тепер знайдемо dy/dt: dy/dt = d/dt (1/sin(e^t))

Користуючись правилом диференціювання дробів: dy/dt = (-1/sin^2(e^t)) * (sin(e^t))'

(sin(e^t))' = cos(e^t) * (e^t)' (похідна sin(u))

(e^t)' = e^t (похідна e^t)

Таким чином, ми маємо: (sin(e^t))' = cos(e^t) * e^t

Повернемося до dy/dt: dy/dt = (-1/sin^2(e^t)) * (cos(e^t) * e^t)

Тепер ми маємо dx/dt і dy/dt. Тепер знайдемо другу похідну dy/dx^2 за допомогою відношення dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) і правила диференціювання дробів:

d^2y/dx^2 = d/dx (dy/dx) d^2y/dx^2 = d/dx ((dy/dt) / (dx/dt))

Використовуючи правило диференціювання частки, отримуємо: d^2y/dx^2 = [(dx/dt) * (dy/dx) - (dy/dt) * (dx/dx)] / (dx/dt)^2

Підставляючи значення, які ми раніше знайшли, отримуємо: d^2y/dx^2 = [(2ctg(e^t) * (-csc^2(e^t) * e^t)) * (-1/sin^2(e^t)) * (cos(e^t) * e^t) - (-1/sin^2(e^t)) * (2ctg(e^t) * (-csc^2(e^t) * e^t))] / (2ctg(e^t) * (-csc^2(e^t) * e^t))^2

Тепер можна спростити цей вираз, але він буде досить складним через тригонометричні та експоненціальні функції.