Question

Помогите решить y"+6y' +13y=sinx

Answer 1

Y(x) = С1*exp(-3*x)*sin(2*x) + С2*exp(-3*x)*cos(2*x) + 1/555*exp(3*x)*(13*sin(x)-4*cos(x))

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью в виде sin(x), мы сначала найдем общее решение однородной части уравнения, а затем найдем частное решение для неоднородной части.

Уравнение второго порядка однородной части: y'' + 6y' + 13y = 0

Для нахождения общего решения этого уравнения, сначала найдем характеристическое уравнение: r^2 + 6r + 13 = 0

Для нахождения корней этого квадратного уравнения, можно использовать дискриминант: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 13 = 36 - 52 = -16

Дискриминант отрицательный, что означает, что характеристическое уравнение имеет комплексные корни: r1 = (-6 + 4i) r2 = (-6 - 4i)

Общее решение однородной части уравнения имеет следующий вид: y_h(x) = e^(-6x) * (C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x))

Теперь найдем частное решение для неоднородной части уравнения с правой частью sin(x). Поскольку правая часть имеет вид sin(x), предположим, что частное решение также имеет вид sin(x), но с неизвестными коэффициентами:

y_p(x) = A * sin(x)

Теперь возьмем производные y_p(x): y_p'(x) = A * cos(x) y_p''(x) = -A * sin(x)

Подставляем частное решение и его производные в исходное уравнение: (-A * sin(x)) + 6(A * cos(x)) + 13(A * sin(x)) = sin(x)

Уравнение можно переписать в следующем виде: (6A - A) * cos(x) + (13A - A) * sin(x) = sin(x)

Теперь сравниваем коэффициенты при sin(x) и cos(x) с соответствующими частями в правой части. Мы хотим, чтобы коэффициент при sin(x) равнялся 1, а при cos(x) равнялся 0: 6A - A = 0 => 5A = 0 => A = 0

Таким образом, частное решение для неоднородной части уравнения равно нулю: y_p(x) = 0

Теперь можем записать общее решение всего уравнения: y(x) = y_h(x) + y_p(x) = e^(-6x) * (C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x)) + 0

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: y(x) = e^(-6x) * (C1 * cos(4x) + C2 * sin(4x))

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий, если они заданы.