Question

Найти неявную производную y^2 + 5x = sin(y+x)

Answer 1

Ответ:

${y}^{2} + 5x = \sin(x + y) \\ 2y \times y' + 5 = \cos(x + y) \times (1 + y') \\ 2y'y + 5 = \cos(x + y) + y'\cos(x + y) \\ 2y'y - y' \cos(x + y) = - 5 + \cos(x + y) \\ y'(2y - \cos(x + y)) = \cos(x + y) - 5 \\ y' = \frac{2y - \cos(x + y) }{ \cos(x + y) - 5 }$

Answer 2

Для нахождения неявной производной данной функции $y^2 + 5x = \sin(y + x)$ по $x$, мы будем использовать правило дифференцирования неявных функций. Давайте проделаем необходимые шаги:

1. Начнем с заданного уравнения:

   $y^2 + 5x = \sin(y + x)$

2. Дифференцируем обе стороны уравнения по $x$.

   $\frac{d}{dx} (y^2 + 5x) = \frac{d}{dx}(\sin(y + x))$

3. Теперь найдем производные слева и справа:

   Для левой стороны уравнения:

   • Производная $y^2$ по $x$ равна $2y \frac{dy}{dx}$.
   • Производная $5x$ по $x$ равна $5$.

   Для правой стороны уравнения:

   • Производная $\sin(y + x)$ по $x$ равна $\cos(y + x) \cdot (1\frac{dy}{dx} + 1)$ с учетом цепного правила дифференцирования.

4. Теперь мы можем записать полученные производные:

   $2y \frac{dy}{dx} + 5 = \cos(y + x) \cdot (1 + \frac{dy}{dx})$

5. Теперь давайте изолируем $\frac{dy}{dx}$ в этом уравнении:

   $2y \frac{dy}{dx} - \cos(y + x) \cdot \frac{dy}{dx} = \cos(y + x) - 5$

   $\frac{dy}{dx} (2y - \cos(y + x)) = \cos(y + x) - 5$

6. И, наконец, найдем $\frac{dy}{dx}$:

   $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(y + x) - 5}{2y - \cos(y + x)}$

Это выражение представляет собой неявную производную функции $y$ по $x$, заданной уравнением $y^2 + 5x = \sin(y + x)$.