Question

ХЕЛППП!!!!! 2кореньydx - хdy=0 найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

2sqrt(y)dx=xdy уравнение с разделяющимися переменными

2dx/x=dy/sqrt(y)

2lnx=2sqrt(y)

lnx+lnC=sqrt(y)

y=ln²Cx

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения $2\sqrt{y}dx - xdy = 0$, мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте разберемся с ним:

1. Сначала перепишем уравнение в следующей форме:

$2\sqrt{y}dx = xdy$

2. Разделим обе стороны на $2\sqrt{y}$:

$\frac{dx}{\sqrt{y}} = \frac{xdy}{2\sqrt{y}}$

3. Теперь разделим переменные, переместив $x$ на одну сторону и $\sqrt{y}$ на другую:

$\frac{dx}{x} = \frac{dy}{2}$

4. Проинтегрируем обе стороны. Интеграл от $\frac{dx}{x}$ это $\ln|x|$, а интеграл от $\frac{dy}{2}$ это $\frac{y}{2} + C$, где $C$ - постоянная интеграции:

$\ln|x| = \frac{y}{2} + C$

5. Теперь можно избавиться от модуля $\ln|x|$, заметив, что $\ln|x| = \ln x$ для $x > 0$ и $\ln|x| = \ln(-x)$ для $x < 0$. Поскольку $\ln(-x)$ не определен в действительных числах, мы ограничимся случаем $x > 0$:

$\ln x = \frac{y}{2} + C$

6. Чтобы избавиться от логарифма, мы можем возвести обе стороны в экспоненту:

$x = e^{\frac{y}{2} + C}$

7. Используя свойства экспоненты, можем записать это уравнение следующим образом:

$x = e^C \cdot e^{\frac{y}{2}}$

8. Здесь $e^C$ - это некоторая другая константа, которую мы можем обозначить как $A$:

$x = A \cdot e^{\frac{y}{2}}$

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения можно представить в виде:

$x = A \cdot e^{\frac{y}{2}}$

где $A$ - произвольная постоянная.