Question

Написать уравнение прямой, проходящей через точку M(2;-5) и перпендикулярной прямой в системе X = 1 + 4t Y = -3 + 3t

Answer 1

Дана точка M(2;-5) и  прямая в параметрическом виде:

x = 1 + 4t ,

y = -3 + 3t.

Запишем уравнение этой прямой в каноническом виде:

$\frac{x-1}{4} =\frac{y+3}{3},\\3x-3=4y+12,\\3x-4y-15=0.$  

Так получено уравнение в общем виде Ax + By + C = 0.

Для перпендикулярной прямой коэффициенты А и В меняются на -В и А. Получаем уравнение 4x + 3y + C = 0.

Для определения слагаемого С подставим координаты точки М, через которую должна проходить  прямая.

4*2 + 3*(-5) + С = 0, отсюда С = 15 - 8 = 7.

Ответ: 4x + 3y + 7 = 0.

Answer 2

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через точку M(2,-5) и перпендикулярной данной прямой, нам понадобится использовать свойство перпендикулярных прямых.

Данная прямая имеет параметрическое уравнение: X = 1 + 4t Y = -3 + 3t

Чтобы найти направляющий вектор данной прямой, мы можем взять коэффициенты при t в уравнении: N = (4, 3)

Теперь, чтобы найти направляющий вектор перпендикулярной прямой, мы можем взять вектор, перпендикулярный N, который будет иметь координаты (-3, 4) (знаки координат меняются местами и одна из них меняет знак). Этот вектор будет направлять перпендикулярную прямую.

Теперь у нас есть направляющий вектор перпендикулярной прямой и точка, через которую она проходит (M(2,-5)). Мы можем использовать эту информацию для записи уравнения прямой в точечной форме:

(X - x1) / a = (Y - y1) / b

где (x1, y1) - координаты точки M, а (a, b) - координаты направляющего вектора перпендикулярной прямой.

Подставим значения: (x1, y1) = (2, -5) (a, b) = (-3, 4)

(X - 2) / (-3) = (Y + 5) / 4

Теперь можно умножить обе стороны на -3 и 4, чтобы избавиться от знаменателей:

4(X - 2) = -3(Y + 5)

Распределите и упростите:

4X - 8 = -3Y - 15

Теперь перенесите все на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение в стандартной форме:

4X + 3Y = -15 + 8

4X + 3Y = -7

Итак, уравнение искомой прямой:

4X + 3Y = -7