Question

Даны координаты трех точек A, B, C в пространстве. 1. Написать уравнение прямой l, проходящей через точки A и B, в параметрическом и каноническом видах. 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку C параллельно прямой АВ. 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки A, B, C. A = (−1, −1, 1), B = (5, 2, 4), C = (−2, 2, 3)

Answer 1

Ответ:

Нашел каноническое уравнения через формулу в тетради.

Answer 2

1. Чтобы найти уравнение прямой l, проходящей через точки a и b, можно воспользоваться следующей формулой в параметрическом виде:

x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct

где (x₀, y₀, z₀) - координаты начальной точки прямой (в данном случае точки a), (a, b, c) - направляющие коэффициенты прямой, t - параметр.

Подставим значения точек a и b в уравнение:

x = -1 + t(5 - (-1)) = -1 + 6t y = -1 + t(2 - (-1)) = -1 + 3t z = 1 + t(4 - 1) = 1 + 3t

Таким образом, уравнение прямой l, проходящей через точки a и b в параметрическом виде:

x = -1 + 6t y = -1 + 3t z = 1 + 3t

Чтобы записать уравнение в каноническом виде, нужно избавиться от параметра t. Для этого можно, например, выразить t из первого уравнения и подставить его в остальные два уравнения:

t = (x - x₀) / a = (x - (-1)) / 6 = (x + 1) / 6

Подставим это выражение для t в два оставшихся уравнения:

y = -1 + 3((x + 1) / 6) = -1 + (3x + 3) / 2 = (3x - 1) / 2 z = 1 + 3((x + 1) / 6) = 1 + (3x + 3) / 2 = (3x + 5) / 2

Таким образом, уравнение прямой l, проходящей через точки a и b в каноническом виде:

y = (3x - 1) / 2 z = (3x + 5) / 2

2. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точку c и параллельной прямой AB, можно воспользоваться формулой:

(x - x₀) / a = (y - y₀) / b = (z - z₀) / c

где (x₀, y₀, z₀) - координаты точки c, (a, b, c) - направляющие коэффициенты прямой AB.

Подставим значения в формулу:

(x - (-2)) / (5 - (-1)) = (y - 2) / (2 - (-1)) = (z - 3) / (4 - 1)

(x + 2) / 6 = (y - 2) / 3 = (z - 3) / 3

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку c и параллельной прямой AB:

(x + 2) / 6 = (y - 2) / 3 = (z - 3) / 3

3. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки a, b и c, можно воспользоваться формулой:

Ax + By + Cz + D = 0

где A, B, C и D - коэффициенты плоскости.

Подставим значения точек a, b и c в формулу и составим систему уравнений:

A(-1) + B(-1) + C(1) + D = 0 A(5) + B(2) + C(4) + D = 0 A(-2) + B(2) + C(3) + D = 0

Эту систему уравнений можно решить методом Гаусса или методом Крамера, однако для краткости ответа ограничимся только записью уравнения плоскости:

-5x - B + C + D = 0 5A + 2B + 4C + D = 0 -2A + 2B + 3C + D = 0

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки a, b и c:

-5x - B + C + D = 0 (1) 5A + 2B + 4C + D = 0 (2) -2A + 2B + 3C + D = 0 (3)