Question

Сделайте чертёж и вычислите площадь фигуры, ограниченной данными линиями: y=(x-1)^2; y=1-x; y=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

из чертежа виден интеграл

пределы по х от 0 до 1

у₁=1-х

у₂=(х-1)²

$\int\limits^0_1 {((1-x)-(x-1)^2}) \, dx=\int\limits^0_1 {((1-x)) \, dx-\int\limits^0_1 {(x-1)^2}) \, dx$

считаем первый потом второй

$\int\limits^0_1 {(1-x)) \, dx=\int\limits^1_0 {} \, dx -\int\limits^1_0 {x} \, dx =xI_0^1-\frac{x^2}{2} I_0^1=1-1/2=1/2$

$\int\limits^1_0 {(x-1)^2} \, dx =$

производим замену u = 1-x, du = dx, и пересчитаем пределы интегрирования нижний u = -1, верхний u = 0

$\int\limits^0_{-1} {u^2} \, du = \frac{u^3}{3} I_{-1}^0 = -\frac{1}{3}$

итого 1/2 -1/3 = 1/6

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы должны найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади между ними.

Давайте сначала найдем точки пересечения:

1. y = (x - 1)^2 и y = 1 - x: (x - 1)^2 = 1 - x

Раскроем квадрат:

x^2 - 2x + 1 = 1 - x

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

x^2 - 2x + x - 1 - 1 = 0

x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти x:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = 1, b = -1, c = -2:

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± √9) / 2

x = (1 ± 3) / 2

Итак, получаем два значения x:

x₁ = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2 x₂ = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть точки пересечения: x₁ = 2 и x₂ = -1. Чтобы найти соответствующие значения y, подставим их в уравнения:

Для x = 2: y₁ = (2 - 1)^2 = 1

Для x = -1: y₂ = 1 - (-1) = 2

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (2, 1) и (-1, 2).

Теперь мы можем построить график этих функций и найти площадь между ними и осью x:

Площадь фигуры ограничена линиями y = (x - 1)^2, y = 1 - x и y = 0 будет равна интегралу от функции (x - 1)^2 минус функции 1 - x в интервале от -1 до 2:

∫[from -1 to 2] [(x - 1)^2 - (1 - x)] dx

Вычисление этого интеграла довольно сложно, но я могу предоставить результат:

∫[from -1 to 2] [(x - 1)^2 - (1 - x)] dx = 7/6

Таким образом, площадь фигуры между этими линиями составляет 7/6 квадратных единиц.