Question

Найти первообразную функции f(x)= 4x^2 - x^3, график которой проходит через точку N (-2;-2)​

Answer 1

Ответ:

F(x)=

$= \frac{4}{3} {x}^{3} - \frac{1}{4} {x}^{4} + \frac{38}{3}$

Пошаговое объяснение:

$f(x) = 4 {x}^{2} - {x}^{3}$

первообразная F(x)=

$= 4 \times \frac{ {x}^{2 + 1} }{2 + 1} - \frac{ {x}^{3 + 1} }{3 + 1} + c = \frac{4}{3} {x}^{3} - \frac{1}{4} {x}^{4} + c$

N(-2;-2) => x=-2, y=-2

подставим в уравнение первообразной:

$- 2 = \frac{4}{3} \times {( - 2)}^{3} - \frac{1}{4} \times {( - 2)}^{4} + c$

$c = - 2 + \frac{32}{3} + 4 \\ c = \frac{38}{3}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = 4x^2 - x^3, мы будем использовать метод интегрирования. Первообразная (или интеграл) этой функции будет выглядеть следующим образом:

F(x) = ∫(4x^2 - x^3) dx

Давайте проинтегрируем это выражение.

F(x) = ∫(4x^2 - x^3) dx

Сначала проинтегрируем каждый член по отдельности:

∫(4x^2) dx = 4/3 * x^3 + C1, где C1 - произвольная постоянная интеграции.

∫(-x^3) dx = -1/4 * x^4 + C2, где C2 - ещё одна произвольная постоянная интеграции.

Теперь объединим результаты:

F(x) = (4/3 * x^3 + C1) + (-1/4 * x^4 + C2)

F(x) = 4/3 * x^3 - 1/4 * x^4 + (C1 + C2)

Теперь нам нужно найти значения постоянных C1 и C2, учитывая, что график функции проходит через точку N (-2, -2).

Подставляем x = -2 и y = -2 в уравнение:

-2 = 4/3 * (-2)^3 - 1/4 * (-2)^4 + (C1 + C2)

Вычисляем правую часть:

-2 = 4/3 * (-8) - 1/4 * 16 + (C1 + C2)

-2 = -32/3 - 4 + (C1 + C2)

Теперь находим C1 + C2:

C1 + C2 = -2 + 32/3 + 4 = 22/3

Теперь мы знаем значение C1 + C2. Теперь мы можем записать окончательную первообразную функции:

F(x) = 4/3 * x^3 - 1/4 * x^4 + 22/3

Таким образом, первообразная функции f(x), проходящая через точку N (-2, -2), будет иметь вид:

F(x) = 4/3 * x^3 - 1/4 * x^4 + 22/3