Question

Третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 5, а сумма первых трех членов равна 15. Найди сумму прогрессии. Ответ дробью.

Answer 1

Ответ:

Сумма заданной прогрессии $\displaystyle S =\frac{40}{3}.$

Пошаговое объяснение:

Последовательность bₙ, в которой каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией (q - знаменатель геометрической прогрессии).

В бесконечно убывающей геометрической прогрессии  |q|< 1.

n-й член геометрической прогрессии:  $b_{n} = b_{1} \cdot q^{n-1}.$

Сумма n членов геометрической прогрессии: $\displaystyle S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}.$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $\displaystyle S =\frac{b_{1}}{1-q}.$

По условию b₃ = 5.

$\displaystyle b_{3} = b_{1} \cdot q^{2}=5; \;\; \Rightarrow \;\;b_{1}=\frac{5}{q^{2}}.$

Сумма трех членов данной прогрессии равна 15.

$\displaystyle S_{3}=\frac{b_{1}(q^{3}-1)}{q-1}=15;\\\\\displaystyle \frac{5(q-1)(q^{2}+q+1)}{q^{2}(q-1)}=15;\\\\\displaystyle \frac{(q^{2}+q+1)}{q^{2}}=3;\\\\\displaystyle q^{2}+q+1 = 3q^{2};\\\displaystyle 2q^{2}-q-1=0;$

$\displaystyle D = b^{2}-4ac=1+4 \cdot 2=9 =3^{2}\\q_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a};\\\\\displaystyle q_{1}=\frac{1+3}{4}=1;\\\\ q_{2}=\frac{1-3}{4}=-\frac{1}{2}=-0,5.$

Знаменатель прогрессии q = 1 не подходит, так как по условию геометрическая прогрессия бесконечно убывающая.

Тогда знаменатель данной прогрессии q = -0,5.

$\displaystyle b_{1}=\frac{5}{(-0,5)^{2}}=\frac{5}{0,25}=20.$

Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

$\displaystyle S = \frac{20}{1-(-0,5)}=\frac{20}{1,5}=\frac{40}{3}.$

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a" и знаменатель прогрессии как "q". Тогда третий член будет равен:

a * q^2 = 5

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна:

a + a * q + a * q^2 = 15

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными:

1. a * q^2 = 5
2. a + a * q + a * q^2 = 15

Давайте разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от "a":

(a + a * q + a * q^2) / (a * q^2) = 15 / 5

После упрощения получим:

(1 + q + q^2) / (q^2) = 3

Теперь давайте умножим обе стороны на q^2:

1 + q + q^2 = 3 * q^2

Теперь выразим q^2:

q^2 - q - 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью формулы квадратного корня:

q = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

В данном случае, a = 1, b = -1, и c = -1. Подставим значения:

q = (-(-1) ± √((-1)² - 4 * 1 * (-1))) / (2 * 1)

q = (1 ± √(1 + 4)) / 2

q = (1 ± √5) / 2

Теперь у нас есть два значения q:

1. q1 = (1 + √5) / 2
2. q2 = (1 - √5) / 2

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна:

Сумма = a / (1 - q)

Теперь мы можем найти суммы для обоих значений q:

1. Сумма1 = a / (1 - (1 + √5) / 2)
2. Сумма2 = a / (1 - (1 - √5) / 2)

Теперь давайте подставим значение "a" из первого уравнения (a * q^2 = 5):

1. Сумма1 = (5 / q^2) / (1 - (1 + √5) / 2)
2. Сумма2 = (5 / q^2) / (1 - (1 - √5) / 2)

Таким образом, у нас есть две возможные суммы прогрессии, одна для каждого значения q.