Question

Первая прямая проходит через точки A=(-2,-3,-8) и B=(-2,-4,-9). Вторая прямая проходит через точки C=(0,2,-6) и D=(2,2,-9). Найти координаты точки пересечения этих прямых.

Answer 1

Ответ:

x = 187    y  = 38.

Пошаговое объяснение:

Есть 2 метода решения этой задачи.

1) По координатам точек определить уравнения прямых с угловым коэффициентом y=ax+b .

                x1     y1           x2   y2

Прямая A -11     5            -5    6

Прямая B 17  4             22   5

  a               b

0,1667      6,8333

0,2           0,6

Ответ:        x        y

              187      38 .

2)  По координатам точек определить уравнения прямых в общем виде.   Вот алгоритм:

//вычислим коэффициенты уравнений прямых

a1=y1-y2

b1=x2-x1

c1=x1*y2-x2*y1

a2=y3-y4

b2=x4-x3

c2=x3*y4-x4*y3

//и решим методом Крамера

//найдем определитель матрицы коэффициентов

d=a1*b2-b1*a2

если d=0 то

-если а1=а2, то прямые совпадают

- иначе прямые параллельны

иначе найдем точку пересечения

найдем вспомогательные определители

dx=-c1*b2+b1*c2

dy=-a1*c2+c1*a2

x:=dx/d

y:=dy/d.

Вот решение по такой схеме:

               x1 y1         x2 y2

Прямая A -11 5       -5 6

   

               x3 y3         x4 y4

Прямая B 17 4          22   5

   

Прямая A a1   b1    c1  

                -1    6    -41  

   

Прямая B a2   b2      c2  

                -1     5       -3  

Answer 2

Для нахождения координат точки пересечения двух прямых, сначала определим параметрические уравнения для каждой из прямых, а затем найдем их точку пересечения.

Уравнение прямой в трехмерном пространстве можно представить в параметрической форме следующим образом:

Прямая AB: x = x_A + t * (x_B - x_A) y = y_A + t * (y_B - y_A) z = z_A + t * (z_B - z_A)

Прямая CD: x = x_C + s * (x_D - x_C) y = y_C + s * (y_D - y_C) z = z_C + s * (z_D - z_C)

Где (x, y, z) - координаты точки на прямой, t и s - параметры, которые могут принимать любые значения, x_A, y_A, z_A, x_B, y_B, z_B, x_C, y_C, z_C, x_D, y_D, z_D - координаты известных точек A, B, C и D.

Мы ищем точку пересечения, поэтому координаты этой точки должны быть одинаковыми на обеих прямых:

x_A + t * (x_B - x_A) = x_C + s * (x_D - x_C) y_A + t * (y_B - y_A) = y_C + s * (y_D - y_C) z_A + t * (z_B - z_A) = z_C + s * (z_D - z_C)

Теперь подставим известные значения координат точек:

x_A = -2, y_A = -3, z_A = -8 x_B = -2, y_B = -4, z_B = -9 x_C = 0, y_C = 2, z_C = -6 x_D = 2, y_D = 2, z_D = -9

Итак, у нас есть система уравнений:

-2 + t * (-2 - (-2)) = 0 + s * (2 - 0) -3 + t * (-4 - (-3)) = 2 + s * (2 - 2) -8 + t * (-9 - (-8)) = -6 + s * (-9 - (-6))

Сократим каждое уравнение:

-2 + t * 0 = 2s -3 - t = 0 -8 - 3t = -6 - 3s

Теперь решим систему уравнений:

2s = -2 t = -3 -3t = -6 - 3s

Из второго уравнения получаем t = -3. Подставляем это значение в третье уравнение:

-3 * (-3) = -6 - 3s 9 = -6 - 3s

Переносим -6 на правую сторону:

9 + 6 = 3s 15 = 3s

Теперь делим обе стороны на 3:

s = 5

Теперь, когда мы знаем значение s, можем найти значение t из второго уравнения:

t = -3

Теперь, когда у нас есть значения t и s, мы можем найти координаты точки пересечения, подставив их в параметрические уравнения для прямых:

Для прямой AB: x = -2 + (-3) * (-2 - (-2)) = -2 y = -3 + (-3) * (-4 - (-3)) = -3 z = -8 + (-3) * (-9 - (-8)) = -8

Для прямой CD: x = 0 + 5 * (2 - 0) = 10 y = 2 + 5 * (2 - 2) = 2 z = -6 + 5 * (-9 - (-6)) = -6 - 15 = -21

Итак, координаты точки пересечения прямых AB и CD равны (x, y, z) = (-2, -3, -8) для прямой AB и (x, y, z) = (10, 2, -21) для прямой CD.