Question

ПОМОГИТЕ ПЛИИИИЗЗЗЗ ДАЮ 100 БАЛОВ. Найти производные третьего порядка указанных функций f(x)=e^x (7sinx+8 cos⁡x )

Answer 1

Ответ:

$f'(x) = {e}^{x} (7 \sin(x) + 8 \cos(x)) + {e}^{x} (7 \cos(x) - 8 \sin(x)) = \\ = {e}^{x} (7 \sin(x) + 8 \cos(x) + 7 \cos(x) - 8 \sin(x)) = \\ = {e}^{x} ( - \sin(x) + 15 \cos(x))$

$f''(x) = {e}^{x} ( - \sin(x) + 15 \cos(x)) + {e}^{x} ( - \cos(x) - 15 \sin(x) ) = \\ = {e}^{x} (14 \cos(x) - 16 \sin(x) )$

$f'''(x) = {e}^{x} (14 \cos(x) -16 \sin(x)) + {e}^{x} ( - 14 \sin(x) - 16 \cos(x)) = \\ = {e}^{x} ( - 2 \cos(x) - 30 \sin(x))$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производные третьего порядка для функции $f(x) = e^x(7\sin(x) + 8\cos(x))$.

Для вычисления производных более высокого порядка нам нужно последовательно продифференцировать функцию.

1. Начнем с первой производной: $f'(x) = e^x(7\sin(x) + 8\cos(x))'$. Применяем правило производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$. $f'(x) = e^x(7\sin(x) + 8\cos(x))' = e^x(7\sin(x))' + e^x(8\cos(x))'$. Теперь вычислим производные синуса и косинуса: $f'(x) = e^x(7\cos(x) + 8(-\sin(x)))$. $f'(x) = e^x(7\cos(x) - 8\sin(x))$.

2. Теперь найдем вторую производную: $f''(x) = (e^x(7\cos(x) - 8\sin(x)))'$. Снова применяем правило производной произведения: $f''(x) = (e^x)'(7\cos(x) - 8\sin(x)) + e^x(7\cos(x) - 8\sin(x))'$. Вычислим производные экспоненты, синуса и косинуса: $f''(x) = e^x(7\cos(x) - 8\sin(x)) + e^x(-7\sin(x) - 8\cos(x))$. $f''(x) = e^x(7\cos(x) - 8\sin(x) - 7\sin(x) - 8\cos(x))$. $f''(x) = e^x(-15\sin(x) - 15\cos(x))$.

3. Теперь найдем третью производную: $f'''(x) = (e^x(-15\sin(x) - 15\cos(x)))'$. И снова применяем правило производной произведения: $f'''(x) = (e^x)'(-15\sin(x) - 15\cos(x)) + e^x(-15\sin(x) - 15\cos(x))'$. Вычислим производные экспоненты, синуса и косинуса: $f'''(x) = e^x(-15\sin(x) - 15\cos(x)) + e^x(-15\cos(x) + 15\sin(x))$. $f'''(x) = e^x(-30\sin(x))$.

Итак, третья производная функции $f(x)$ равна $-30e^x\sin(x)$.