Question

ПОМОГИТЕ ПЛИИИИЗЗЗЗ ДАЮ 100 БАЛОВ. Найти производные третьего порядка указанных функций f(x)=x^2 ln⁡(7x)

Answer 1

Ответ:

$f'(x) = 2x ln(7x) + \frac{1}{7x} \times 7\times {x}^{2} = \\ = 2x ln(7x) + x$

$f''(x) = 2 ln(7x) + \frac{2x}{7x} \times 7 + 1 = \\ = 2 ln(7x) + 2 + 1 = 2 ln(7x) + 3$

$f'''(x) = \frac{2}{7x} \times 7 = \frac{2}{x}$

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти производные третьего порядка для функции f(x) = x^2 * ln(7x).

Давайте начнем с вычисления первой производной:

f'(x) = d/dx (x^2 * ln(7x))

Для этого используем производное правило произведения (производная произведения двух функций равна первой функции, умноженной на производную второй плюс вторая функция, умноженная на производную первой):

f'(x) = x^2 * d/dx(ln(7x)) + ln(7x) * d/dx(x^2)

Теперь найдем производные от каждого слагаемого:

1. d/dx(ln(7x)): Для этой части используем цепное правило (правило дифференцирования логарифма): d/dx(ln(u)) = (1/u) * du/dx. В данном случае u = 7x.

d/dx(ln(7x)) = (1/(7x)) * d/dx(7x) = (1/(7x)) * 7 = 1/x

2. d/dx(x^2): Производная x^2 по x равна 2x.

Теперь мы можем выразить первую производную:

f'(x) = x^2 * (1/x) + ln(7x) * 2x

Упростим это выражение:

f'(x) = x + 2x * ln(7x)

Теперь перейдем ко второй производной. Для этого снова возьмем производную от f'(x):

f''(x) = d/dx(x + 2x * ln(7x))

1. d/dx(x) = 1

2. d/dx(2x * ln(7x)): Используем производное правило произведения, а также цепное правило для ln(7x).

   d/dx(2x * ln(7x)) = 2 * (x * d/dx(ln(7x)) + ln(7x) * d/dx(x))

   Снова используем результаты из первой производной: d/dx(ln(7x)) = 1/x d/dx(x) = 1

   d/dx(2x * ln(7x)) = 2 * (x * (1/x) + ln(7x) * 1)

   Упростим: d/dx(2x * ln(7x)) = 2 + 2ln(7x)

Теперь у нас есть вторая производная:

f''(x) = 1 + 2 + 2ln(7x) = 3 + 2ln(7x)

И, наконец, найдем третью производную:

f'''(x) = d/dx(3 + 2ln(7x))

1. d/dx(3) = 0

2. d/dx(2ln(7x)): Используем цепное правило для ln(7x):

   d/dx(2ln(7x)) = 2 * (1/x)

Третья производная равна:

f'''(x) = 0 + 2/x = 2/x

Итак, третья производная функции f(x) равна:

f'''(x) = 2/x