Question

Y''+2y'+2y Найти общее решение дифференциального уравнения

Answer 1

Ответ:

y²+4y

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y'' + 2y' + 2y = 0, мы можем сначала попробовать найти характеристическое уравнение и его корни. Затем мы используем корни характеристического уравнения, чтобы построить общее решение.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения выглядит следующим образом:

r^2 + 2r + 2 = 0.

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение. Дискриминант D квадратного уравнения будет:

D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4.

Дискриминант отрицательный, что означает, что у нас есть два комплексных корня. Мы можем выразить эти корни в виде:

r1 = (-2 + 2i) и r2 = (-2 - 2i),

где i - мнимая единица.

Теперь мы можем использовать эти корни, чтобы записать общее решение:

y(t) = e^(rt) * (C1 * cos(ωt) + C2 * sin(ωt)),

где r1 и r2 - корни характеристического уравнения, t - независимая переменная (обычно время), C1 и C2 - произвольные постоянные, ω - мнимая часть корней, то есть ω = 2.

Итак, общее решение данного дифференциального уравнения будет:

y(t) = e^(-2t) * (C1 * cos(2t) + C2 * sin(2t)).

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, которые зависят от начальных условий задачи.