Question

Sin4xcos4x<0,25можно решение?​

Answer 1

$\sin(4x) \cos(4x) < \frac{1}{4}$

умножим на 2

$2 \sin(4x) \cos(4x) < \frac{1}{4} \times 2$

слева можно сложить по формуле синуса двойного угла

$2 \sin( \alpha ) \cos( \alpha ) = \sin(2 \alpha )$

$\sin(8x) < \frac{1}{2}$

Смотри на рисунок

8х принадлежит

$( - \frac{7\pi}{6} + 2\pi \: n ;\frac{\pi}{6} + 2\pi \: n)$

х принадлежит

$( - \frac{7\pi}{48} + \frac{\pi \: n}{4} ; \frac{\pi}{48} + \frac{\pi \: n}{4} )$

n принадлежит Z.

Answer 2

Да, конечно, я помогу вам с этим неравенством. Давайте разберемся.

Имеем неравенство:

$\sin^4(x) \cos^4(x) < 0.25$

Сначала заметим, что $\sin^4(x) \geq 0$ и $\cos^4(x) \geq 0$ для любого $x$, так как квадраты синуса и косинуса не могут быть отрицательными.

Теперь обратим внимание, что $0.25 = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.

Поскольку и $\sin^4(x)$ и $\cos^4(x)$ не могут быть отрицательными, то условие $\sin^4(x) \cos^4(x) < 0.25$ выполняется тогда и только тогда, когда один из сомножителей $\sin^4(x)$ или $\cos^4(x)$ меньше $\frac{1}{2}$.

Итак, решение данного неравенства можно представить в виде двух случаев:

1. $\sin^4(x) < \frac{1}{2}$ при $\cos^4(x) \geq \frac{1}{2}$
2. $\cos^4(x) < \frac{1}{2}$ при $\sin^4(x) \geq \frac{1}{2}$

Теперь нам нужно решить каждый из этих двух случаев.

1. $\sin^4(x) < \frac{1}{2}$ при $\cos^4(x) \geq \frac{1}{2}$:

Заметим, что $\sin^4(x) < \frac{1}{2}$ означает $\sin^2(x) < \frac{1}{\sqrt{2}}$, что, в свою очередь, равносильно $|\sin(x)| < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это соответствует интервалам $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$ для целых $n$.

2. $\cos^4(x) < \frac{1}{2}$ при $\sin^4(x) \geq \frac{1}{2}$:

Аналогично, $\cos^4(x) < \frac{1}{2}$ означает $\cos^2(x) < \frac{1}{\sqrt{2}}$, что равносильно $|\cos(x)| < \frac{1}{\sqrt{2}}$. Это соответствует интервалам $\frac{\pi}{8} + 2\pi n < x < \frac{7\pi}{8} + 2\pi n$