Question

Вычислить интеграл ∫dx/sin(x) использовать замену z=tg(x/2)

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫ dx/sin(x) с помощью замены z = tan(x/2), мы начнем с выражения sin(x) через tan(x/2):

sin(x) = 2 * tan(x/2) / (1 + tan^2(x/2))

Теперь мы можем выразить dx через dz, используя производную z по x:

dz/dx = 1/2 * (1 + tan^2(x/2))

dx = 2 * dz / (1 + tan^2(x/2))

Теперь мы готовы провести замену переменных:

∫ dx/sin(x) = ∫ (2 * dz / (1 + tan^2(x/2))) / (2 * tan(x/2) / (1 + tan^2(x/2)))

Обратите внимание, что 2 и (1 + tan^2(x/2)) сокращаются:

∫ dx/sin(x) = ∫ dz / tan(x/2)

Теперь интеграл становится более простым:

∫ dz / tan(x/2)

Теперь интегрируем:

∫ dz / tan(x/2) = ∫ (1/tan(x/2)) dz

Теперь вспомним, что tan(x/2) = sin(x) / (1 + cos(x)), и заменим tan(x/2) на это выражение:

∫ (1/tan(x/2)) dz = ∫ ((1 + cos(x)) / sin(x)) dz

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение. Интеграл ∫(1/sin(x)) dx известен и равен -ln|csc(x) + cot(x)|. Проинтегрируем оставшуюся часть:

∫ cos(x)/sin(x) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C

Итак, интеграл ∫ dx/sin(x) при замене z = tan(x/2) равен:

-ln|csc(x) + cot(x)| + C