Question

Как решать такой предел, используя первый замечательный, но не используя Лопиталя. lim (1-cosx)/x^2 x->0

Answer 1

Ответ:

возведи в квадрат числитель,получится формула отт,и дальше замечательный прдеел sinx/x=1 ,все просто

Answer 2

Для нахождения предела lim (1 - cos(x))/x^2 при x -> 0 без использования правила Лопиталя можно воспользоваться первым замечательным пределом, который формулируется следующим образом:

lim (sin(x)/x) = 1 при x -> 0.

Сначала преобразуем исходное выражение, чтобы свести его к виду, в котором можно использовать этот предел. Умножим и числитель, и знаменатель на (1 + cos(x)):

lim (1 - cos(x))/x^2 = lim [(1 - cos(x))(1 + cos(x))]/(x^2(1 + cos(x))).

Теперь мы можем использовать первый замечательный предел, который был указан выше:

lim (sin(x)/x) = 1 при x -> 0.

Далее разложим числитель и знаменатель на множители:

(1 - cos(x))(1 + cos(x)) = (1 - cos^2(x)) = sin^2(x).

Теперь предел выглядит следующим образом:

lim [sin^2(x)/(x^2(1 + cos(x)))] при x -> 0.

Мы видим, что sin(x)/x при x -> 0 равен 1, как раз из первого замечательного предела. Теперь у нас остается следующее:

lim [sin(x)/x * sin(x)/(x(1 + cos(x)))] при x -> 0.

Теперь можем применить предел sin(x)/x = 1:

lim [1 * sin(x)/(x(1 + cos(x)))] при x -> 0.

Теперь можем подставить x = 0 и получить ответ:

1 * sin(0)/(0(1 + cos(0))) = 0 / (0 * 2) = 0.

Итак, предел lim (1 - cos(x))/x^2 при x -> 0 равен 0, и мы решили его, не используя правило Лопиталя.